Дано, что квадратные трехчлены $P(x)$ и $Q(x)$ таковы, что $P(x) leq Q(x)$ тогда и только тогда, когда $5 leq x leq 8$. Также известно, что $P(0) - Q(0) = 100$. Нам нужно найти значение выражения $P(1) - Q(1)$.
Предположим, что оба трехчлена квадратные и имеют вид $P(x) = ax^2 + bx + c$ и $Q(x) = dx^2 + ex + f$, где $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$ - некоторые константы.
Учитывая, что $P(x) leq Q(x)$, получим:
$ax^2 + bx + c leq dx^2 + ex + f$
Вычитаем из обеих частей уравнения $dx^2 + ex + f$, чтобы получить:
$(a-d)x^2 + (b-e)x + (c-f) leq 0$.
Так как это трехчлен второй степени, и у него есть корень $x=0$, мы можем записать его в виде:
$a_1(x-0)(x-x_2) = 0$,
где $a_1$ - некоторая константа, а $x_2$ - второй корень трехчлена.
Теперь находим разность трехчленов $P(x)$ и $Q(x)$:
$P(x) - Q(x) = (ax^2 + bx + c) - (dx^2 + ex + f) = (a-d)x^2 + (b-e)x + (c-f)$.
Если взять $x=0$, получим:
$P(0) - Q(0) = (a-d) cdot 0^2 + (b-e) cdot 0 + (c-f) = c - f = 100$.
Таким образом, $c - f = 100$.
Нам нужно найти значение $P(1) - Q(1)$, поэтому подставим $x=1$ в выражение $P(x) - Q(x)$:
$P(1) - Q(1) = (a-d) cdot 1^2 + (b-e) cdot 1 + (c-f) = a-d + b-e + c-f$.
Заметим, что $c-f=100$, поэтому:
$P(1) - Q(1) = a-d + b-e + 100$.
Изначально нам дано, что $P(x) leq Q(x)$ тогда и только тогда, когда $5 leq x leq 8$. Подставим $x=5$ в выражение $P(x) leq Q(x)$:
$P(5) leq Q(5)$.
$25a + 5b + c leq 25d + 5e + f$.
Также подставим $x=8$:
$P(8) leq Q(8)$.
$64a + 8b + c leq 64d + 8e + f$.
Теперь объединим эти два неравенства и выразим $a$, $b$ и $d$ через $c$, $e$ и $f$:
$25a + 5b + c leq 64a + 8b + c$,
$25a - 64a leq 8b - 5b$,
$-39a leq 3b$.
Аналогично получаем:
$3d leq -39e$.
После деления обоих неравенств на $3$ получаем:
$a geq frac{-13}{3}b$,
$d geq frac{-13}{3}e$.
Теперь возьмем выражение $P(1) - Q(1)$ и выразим $a-d$ и $b-e$ через $a$ и $b$:
$P(1) - Q(1) = a-d + b-e + 100 = (a-d) + (b-e) + 100$.
Так как $a geq frac{-13}{3}b$ и $d geq frac{-13}{3}e$, то:
$(a-d) geq frac{-13}{3}(b-e)$.
Следовательно, $P(1) - Q(1) geq frac{-13}{3}(b-e) + (b-e) + 100$.
Факторизуем это выражение:
$P(1) - Q(1) geq frac{-10}{3}(b-e) + 100$.
Отсюда следует, что $P(1) - Q(1) geq frac{-10}{3}(b-e) + 100$ для всех значений $b$ и $e$.
Таким образом, наименьшее значение, которое может принять выражение $P(1) - Q(1)$, равно $frac{-10}{3}(b-e) + 100$.
Однако, мы не знаем значения $b$ и $e$, поэтому не можем найти точное значение выражения $P(1) - Q(1)$.
