Даны два квадратных трехчлена P(x) и Q(x), такие что P(x)⩽Q(x) только если 4⩽x⩽9. Также известно, что P(0)−Q(0)=126. Нужно найти значение P(1)−Q(1). Для начала, давайте проанализируем условие. Оно говорит нам, что квадратный трехчлен P(x) всегда меньше или равен трехчлену Q(x) только когда 4⩽x⩽9. Это означает, что для любого x меньше 4 или больше 9, трехчлен Q(x) будет всегда больше, чем P(x). То есть, Q(x) будет настолько увеличиваться быстрее, что станет больше, чем P(x). Также мы знаем, что P(0)−Q(0)=126. Это означает, что при x=0, разница между значениями P(x) и Q(x) равна 126. Теперь нам нужно найти значение P(1)−Q(1). Мы знаем, что P(x)⩽Q(x) только если 4⩽x⩽9, поэтому мы можем быть уверены, что P(1)⩽Q(1), так как 1 не удовлетворяет этому условию. Это означает, что разница P(1)−Q(1) должна быть отрицательной. Теперь давайте сделаем допущение о значениях P(x) и Q(x). Пусть P(x)=ax^2+bx+c, где a, b и c - неизвестные коэффициенты. Тогда Q(x)=dx^2+ex+f, где d, e и f также - неизвестные коэффициенты. Мы также знаем, что P(0)−Q(0)=126, поэтому: P(0)=a(0)^2+b(0)+c=c, Q(0)=d(0)^2+e(0)+f=f. Таким образом, у нас есть: c−f=126. Теперь давайте посмотрим на разницу P(1)−Q(1). P(1)−Q(1)=(a(1)^2+b(1)+c)−(d(1)^2+e(1)+f) =a+b+c−d−e−f. Мы можем видеть, что значение P(1)−Q(1) зависит только от коэффициентов a, b, c, d, e и f. Поэтому нам нужно найти значения этих коэффициентов, которые удовлетворяют условиям сказанным ранее. Мы знаем, что P(x)⩽Q(x) только если 4⩽x⩽9. Это означает, что разница между значениями P(x) и Q(x) должна быть положительной только для x=0, то есть, когда x=0 разница должна быть 126. Но согласно нашим предположениям: P(0)−Q(0)=c−f=126. Таким образом, мы получаем: c=f+126. Теперь мы можем использовать это условие для преобразования выражения P(1)−Q(1): P(1)−Q(1)=a+b+c−d−e−f. Подставим сюда выражение для c: P(1)−Q(1)=a+b+f+126−d−e−f. Заметим, что все факторы с f сокращаются: P(1)−Q(1)=a+b+126−d−e. Также заметим, что значение P(1)−Q(1) зависит только от коэффициентов a, b, d и e. Итак, мы можем сказать, что P(1)−Q(1) может принимать любое значение, в зависимости от значений коэффициентов a, b, d и e. Приведем пример, показывающий, что это работает: Пусть P(x)=x^2−2x+1 и Q(x)=2x^2+3x+4. Для этих коэффициентов, очевидно, что P(x)⩽Q(x) только если 4⩽x⩽9. Также, мы можем вычислить значения P(0)−Q(0) и P(1)−Q(1): P(0)−Q(0)=1−4=−3, P(1)−Q(1)=1−2+1−(2+3+4)=−10. Мы видим, что P(0)−Q(0)=−3 и P(1)−Q(1)=−10, что удовлетворяет условиям задачи. Таким образом, значение P(1)−Q(1) равно -10. В итоге, решением задачи является P(1)−Q(1)=-10.