Для доказательства того, что средняя кривизна поверхности z = ln(cos x) - ln(cos y) равна нулю, мы должны проанализировать главные кривизны поверхности и использовать теорему Мейюра-Ирншоу.
Главные кривизны поверхности можно найти, вычислив ее гессиан. Гессиан – это матрица вторых производных поверхности, которая содержит информацию о ее кривизне. Для нашей поверхности мы имеем следующий гессиан:
H = | z_xx z_xy |
| z_xy z_yy |
где z_xx, z_xy и z_yy - частные производные второго порядка поверхности.
Продифференцируем функцию z = ln(cos x) - ln(cos y) дважды по x и один раз по y, чтобы найти значения z_xx, z_xy и z_yy:
z_xx = -tan(x)/cos(x)
z_xy = 0
z_yy = tan(y)/cos(y)
Теперь, зная значения z_xx, z_xy и z_yy, мы можем вычислить главные кривизны поверхности, используя формулы:
K = (z_xx * z_yy - z_xy^2) / (1 + z_x^2 + z_y^2)^2
H = (z_xx + z_yy) / (1 + z_x^2 + z_y^2)
где K - гауссова кривизна, H - средняя кривизна, а z_x и z_y - частные производные первого порядка.
Заметим, что здесь z_x и z_y равны нулю, т.к. производные ln(cos x) и ln(cos y) равны нулю по x и y соответственно.
Теперь подставим значения z_xx, z_xy и z_yy в формулы для K и H:
K = (-tan(x)/cos(x) * tan(y)/cos(y)) / (1 + 0 + 0)^2
H = (-tan(x)/cos(x) + tan(y)/cos(y)) / (1 + 0 + 0)^2
Таким образом, H = (-tan(x)/cos(x) + tan(y)/cos(y)) / 1 = -tan(x)/cos(x) + tan(y)/cos(y).
Для того чтобы доказать, что средняя кривизна поверхности равна нулю, необходимо найти значения x и y, при которых выражение -tan(x)/cos(x) + tan(y)/cos(y) равно нулю.
Уравнение -tan(x)/cos(x) + tan(y)/cos(y) = 0 не имеет аналитического решения. Однако, мы можем приближенно определить значения x и y, например, рассмотрев значения, при которых tan(x)/cos(x) и tan(y)/cos(y) максимальны по модулю.
Поскольку функции tan(x)/cos(x) и tan(y)/cos(y) периодичны с периодом pi, мы можем рассмотреть значения x и y в пределах периода [-pi, pi].
Изучив графики функций tan(x)/cos(x) и tan(y)/cos(y), мы можем найти точки максимума по модулю.
Таким образом, значения x и y, при которых средняя кривизна равна нулю, могут быть приближенными значениями этих точек максимума.
В заключение, чтобы доказать, что средняя кривизна поверхности z = ln(cos x) - ln(cos y) равна нулю, мы анализируем главные кривизны поверхности, используя гессиан и формулы для гауссовой кривизны и средней кривизны. Затем мы рассматриваем значения x и y, при которых средняя кривизна приближенно равна нулю.
