Рассмотрим матрицу А размера n × n: А = [a_ij] = |a_11 a_12 ... a_1n| |a_21 a_22 ... a_2n| |... ... ... ... | |a_n1 a_n2 ... a_nn| Определитель матрицы А обозначается det(A) или |A|. Определитель - это число, которое сопоставлено данной матрице. Определитель можно вычислить различными способами, одним из которых является разложение матрицы по строке или столбцу. Разложение матрицы А по i-ой строке вычисляется следующим образом: det(A) = a_i1 * A_i1 + a_i2 * A_i2 + ... + a_in * A_in, где a_ij - элемент матрицы А, A_ij - алгебраическое дополнение элемента a_ij, A_ij = (-1)^(i+j) * M_ij, M_ij - минор, получаемый из матрицы А путем вычеркивания i-ой строки и j-ого столбца, (-1)^(i+j) - знак элемента A_ij. Ранг матрицы обозначается rank(A) и определяется как максимальное количество линейно независимых строк или столбцов данной матрицы. Ранг матрицы можно найти различными способами, например, с помощью метода Гаусса или элементарных преобразований. Теперь рассмотрим матрицу алгебраических дополнений А* (матрицу со всеми алгебраическими дополнениями элементов матрицы А): А* = [A_ij] = |A_11 A_12 ... A_1n| |A_21 A_22 ... A_2n| |... ... ... ... | |A_n1 A_n2 ... A_nn| Заметим, что алгебраическое дополнение элемента матрицы А есть элемент алгебраического дополнения матрицы А*, т.е. A_ij = A*_ij. Теперь рассмотрим определитель и ранг матрицы алгебраических дополнений А*. Определитель матрицы А* можно выразить через определитель исходной матрицы А: det(A*) = |A*| = |A|^(n-1), где |A| - определитель матрицы А. Докажем это выражение. Разложим определитель матрицы А по последнему столбцу: |A| = a_1n * A_1n + a_2n * A_2n + ... + a_nn * A_nn. Так как A_ij = A*_ij, то det(A*) = a_1n * A*_1n + a_2n * A*_2n + ... + a_nn * A*_nn. Мы видим, что каждое слагаемое в разложении определителя матрицы А соответствует соответствующему слагаемому в разложении определителя матрицы алгебраических дополнений А*. Значит, можно записать: det(A*) = |A| = |A|^(n-1). Теперь рассмотрим ранг матрицы алгебраических дополнений А*. Ранг матрицы алгебраических дополнений А* равен рангу исходной матрицы А. Докажем это выражение. Предположим, что ранг матрицы А равен r. Это означает, что в матрице А существует r линейно независимых строк или столбцов. Тогда в матрице алгебраических дополнений А* также существуют r линейно независимых строк или столбцов. Это следует из того, что алгебраическое дополнение элемента матрицы А есть элемент алгебраического дополнения матрицы А*. Значит, ранг матрицы алгебраических дополнений А* не может быть больше r. Однако, ранг матрицы алгебраических дополнений А* также не может быть меньше r, так как в матрице А существуют линейно независимые строки или столбцы, а алгебраическое дополнение каждого элемента матрицы А является элементом матрицы алгебраических дополнений А*. Следовательно, ранг матрицы алгебраических дополнений А* равен рангу матрицы А. Таким образом, определитель и ранг матрицы алгебраических дополнений А* выражаются через определитель и ранг исходной матрицы А следующим образом: det(A*) = |A|^(n-1), rank(A*) = rank(A).