Задача заключается в том, чтобы выбрать наибольшее количество попарно различных натуральных чисел, не превышающих 10, так, чтобы для любого числа 𝑁 из выбранных чисел произведение всех остальных чисел делится на 𝑁 нацело.
Давайте рассмотрим все возможные числа, не превышающие 10, и выясним, какие из них удовлетворяют условию задачи.
1. Рассмотрим число 1. Произведение всех остальных чисел (кроме 1) нулевое, поэтому для любого числа 𝑁 произведение всех остальных чисел не будет делиться на 𝑁 нацело. Следовательно, число 1 не удовлетворяет условию задачи.
2. Рассмотрим число 2. Попробуем составить произведение всех остальных чисел:
2 * 1 = 2
2 * 3 = 6
2 * 4 = 8
2 * 5 = 10
2 * 6 = 12
2 * 7 = 14
2 * 8 = 16
2 * 9 = 18
2 * 10 = 20
Как видим, произведение всех остальных чисел, за исключением чисел 1 и 2, не делится нацело ни на одно из чисел 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, или 10. Следовательно, число 2 не удовлетворяет условию задачи.
3. Рассмотрим число 3. Попробуем составить произведение всех остальных чисел:
3 * 1 = 3
3 * 2 = 6
3 * 4 = 12
3 * 5 = 15
3 * 6 = 18
3 * 7 = 21
3 * 8 = 24
3 * 9 = 27
3 * 10 = 30
Как видим, произведение всех остальных чисел, за исключением чисел 1 и 3, делится нацело на число 3. Однако, ни одно из оставшихся чисел (2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, или 10) не делится нацело на число 6, а значит, число 3 также не удовлетворяет условию задачи.
4. Рассмотрим число 4. Попробуем составить произведение всех остальных чисел:
4 * 1 = 4
4 * 2 = 8
4 * 3 = 12
4 * 5 = 20
4 * 6 = 24
4 * 7 = 28
4 * 8 = 32
4 * 9 = 36
4 * 10 = 40
Как видим, произведение всех остальных чисел, за исключением чисел 1 и 4, делится нацело на число 4. Однако, ни одно из оставшихся чисел (2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, или 10) не делится нацело на число 12, а значит, число 4 также не удовлетворяет условию задачи.
5. Рассмотрим число 5. Попробуем составить произведение всех остальных чисел:
5 * 1 = 5
5 * 2 = 10
5 * 3 = 15
5 * 4 = 20
5 * 6 = 30
5 * 7 = 35
5 * 8 = 40
5 * 9 = 45
5 * 10 = 50
Как видим, произведение всех остальных чисел, за исключением чисел 1 и 5, делится нацело на число 5. Однако, ни одно из оставшихся чисел (2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, или 10) не делится нацело на число 6, а значит, число 5 также не удовлетворяет условию задачи.
6. Рассмотрим число 6. Попробуем составить произведение всех остальных чисел:
6 * 1 = 6
6 * 2 = 12
6 * 3 = 18
6 * 4 = 24
6 * 5 = 30
6 * 7 = 42
6 * 8 = 48
6 * 9 = 54
6 * 10 = 60
Как видим, произведение всех остальных чисел, за исключением чисел 1 и 6, делится нацело на число 6. Однако, ни одно из оставшихся чисел (2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, или 10) не делится нацело на число 18, а значит, число 6 также не удовлетворяет условию задачи.
7. Рассмотрим число 7. Попробуем составить произведение всех остальных чисел:
7 * 1 = 7
7 * 2 = 14
7 * 3 = 21
7 * 4 = 28
7 * 5 = 35
7 * 6 = 42
7 * 8 = 56
7 * 9 = 63
7 * 10 = 70
Как видим, произведение всех остальных чисел, за исключением чисел 1 и 7, делится нацело на число 7. Однако, ни одно из оставшихся чисел (2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, или 10) не делится нацело на число 14, а значит, число 7 также не удовлетворяет условию задачи.
8. Рассмотрим число 8. Попробуем составить произведение всех остальных чисел:
8 * 1 = 8
8 * 2 = 16
8 * 3 = 24
8 * 4 = 32
8 * 5 = 40
8 * 6 = 48
8 * 7 = 56
8 * 9 = 72
8 * 10 = 80
Как видим, произведение всех остальных чисел, за исключением чисел 1 и 8, делится нацело на число 8. Однако, ни одно из оставшихся чисел (2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, или 10) не делится нацело на число 24, а значит, число 8 также не удовлетворяет условию задачи.
9. Рассмотрим число 9. Попробуем составить произведение всех остальных чисел:
9 * 1 = 9
9 * 2 = 18
9 * 3 = 27
9 * 4 = 36
9 * 5 = 45
9 * 6 = 54
9 * 7 = 63
9 * 8 = 72
9 * 10 = 90
Как видим, произведение всех остальных чисел, за исключением чисел 1 и 9, делится нацело на число 9. Однако, ни одно из оставшихся чисел (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, или 10) не делится нацело на число 18, а значит, число 9 также не удовлетворяет условию задачи.
10. Рассмотрим число 10. Попробуем составить произведение всех остальных чисел:
10 * 1 = 10
10 * 2 = 20
10 * 3 = 30
10 * 4 = 40
10 * 5 = 50
10 * 6 = 60
10 * 7 = 70
10 * 8 = 80
10 * 9 = 90
Как видим, произведение всех остальных чисел, за исключением чисел 1 и 10, делится нацело на число 10. Кроме того, оставшиеся числа (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, и 9) все делятся нацело на число 2. Значит, число 10 является решением задачи и удовлетворяет условию.
Таким образом, наибольшее количество попарно различных натуральных чисел, не больших 10, которые можно выбрать так, чтобы для любого числа 𝑁 из выбранных чисел произведение всех остальных чисел делится на 𝑁 нацело, равно 1 (только число 10 удовлетворяет условию).
