Теорема Ролля указывает на наличие точки на графике функции, в которой касательная горизонтальна. При выполнении условий теоремы, функция должна быть непрерывной на отрезке [a, b], дифференцируемой на интервале (a, b), и принимать одинаковые значения в концах этого интервала (f(a) = f(b)). Давайте проверим каждый предложенный вариант и убедимся, удовлетворяет ли функция условиям теоремы Ролля. A). y = 1 – Cos x Функция непрерывна и дифференцируема на всей числовой прямой. Определим значения функции на начале и конце интервала [0, π]: f(0) = 1 - Cos 0 = 1 - 1 = 0 f(π) = 1 - Cos π = 1 + 1 = 2 Так как f(0) ≠ f(π), то функция не удовлетворяет условиям теоремы Ролля. B). y = Sin x Функция непрерывна и дифференцируема на всей числовой прямой. Определим значения функции на начале и конце интервала [0, π]: f(0) = Sin 0 = 0 f(π) = Sin π = 0 Так как f(0) = f(π), то функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля. C). y = Sin² x + 1 Функция непрерывна и дифференцируема на всей числовой прямой. Определим значения функции на начале и конце интервала [0, π]: f(0) = Sin² 0 + 1 = 0 + 1 = 1 f(π) = Sin² π + 1 = 0 + 1 = 1 Так как f(0) = f(π), то функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля. D). y = tg x Функция непрерывна и дифференцируема на интервале (0, π). Определим значения функции на начале и конце интервала [0, π]: f(0) = tg 0 = 0 f(π) = tg π = 0 Так как f(0) = f(π), то функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля. E). y = 3x² - 1 Функция непрерывна и дифференцируема на всей числовой прямой. Определим значения функции на начале и конце интервала [0, π]: f(0) = 3(0)² - 1 = -1 f(π) = 3(π)² - 1 = 9π² - 1 Так как f(0) ≠ f(π), то функция не удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Итак, функции B) y = Sin x, C) y = Sin² x + 1 и D) y = tg x удовлетворяют условиям теоремы Ролля на отрезке [0, π].