Теорема Лагранжа гласит, что если функция непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b), то существует точка c в (a, b), такая что производная функции в этой точке равна среднему значению приращения функции на данном интервале. То есть, если функция удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа на отрезке [a, b], то найдется такая точка c в (a, b), что $f'(c) = frac{f(b)-f(a)}{b-a}$. Для нашего случая отрезок [a, b] равен [1, 3]. Проверим каждую из предложенных функций на условия теоремы Лагранжа: A) y = 2x - x^2 У нас функция имеет вид y = ax + bx^2, где a и b - константы. Если возьмем a = 2 и b = -1, то функция будет удовлетворять условиям теоремы Лагранжа на отрезке [1,3]. Проверим производную: y' = 2 - 2x Найдем точку c: 2 - 2c = frac{3-1}{3-1} = frac{2}{2} = 1 2c = 1 c = frac{1}{2} Подставим c в исходную функцию: y(c) = 2*frac{1}{2} - (frac{1}{2})^2 = 1 - frac{1}{4} = frac{3}{4} Проверка прошла успешно. B) y = 1 -√(3&x^2) У нас функция имеет вид y = a -sqrt{bx^2}, где a и b - константы. Нет возможности найти точку с такой функцией, которая удовлетворяла бы условиям теоремы Лагранжа. Проверка неуспешна. C) y = x^3+3x-5 Функция не имеет вид y = ax + bx^2, поэтому не может удовлетворять условиям теоремы Лагранжа. Проверка неуспешна. D) y = (x+5)/2 У нас функция имеет вид y = ax + b, где a и b - константы. Если возьмем a = 1/2 и b = 5/2, то функция будет удовлетворять условиям теоремы Лагранжа на отрезке [1,3]. Проверим производную: y' = 1/2 Найдем точку c: 1/2 = frac{3-1}{3-1} = frac{2}{2} = 1 1/2 = 1 Проверка неуспешна. E) y = 〖2x〗^4+x. У нас функция имеет вид y = ax^n + bx, где a и b - константы. Если возьмем a = 2 и b = 1, то функция будет удовлетворять условиям теоремы Лагранжа на отрезке [1,3]. Проверим производную: y' = 8x^3 + 1 Найдем точку c: 8c^3 + 1 = frac{3^4+3-1}{3-1} = frac{83}{2} 8c^3 = frac{83}{2} - 1 8c^3 = frac{81}{2} c = sqrt[3]{frac{81}{16}} Подставим c в исходную функцию: y(c) = 2(sqrt[3]{frac{81}{16}})^4 + sqrt[3]{frac{81}{16}} = frac{3}{4} Проверка прошла успешно. Итак, только функция E) y = 〖2x〗^4+x удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа на отрезке [1,3].