Теорема Лагранжа утверждает, что если функция непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b), то между любыми двумя точками существует точка, в которой производная функции равна среднему значению изменения функции. Формально это записывается как: f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a), где c - некоторая точка на отрезке (a, b). Для нашего случая отрезок [1, 3], проверим каждую из функций на условия теоремы Лагранжа. А). y = 2x - x^2 Вычислим разность значений функции на концах отрезка: f(3) - f(1): f(3) = 2*3 - 3^2 = 6 - 9 = -3 f(1) = 2*1 - 1^2 = 2 - 1 = 1 Таким образом, f(3) - f(1) = -3 - 1 = -4. Посчитаем разность значений аргументов: 3 - 1 = 2. Теперь найдем значение производной на интервале (1, 3) и убедимся, что оно равно среднему значению изменения функции: f'(x) = 2 - 2x Вычислим производную в некоторой точке c на интервале (1, 3): f'(c) = 2 - 2c Подставим полученное значение разности значений функции и разности аргументов: f'(c) = -4/2 = -2 Мы видим, что значение производной не равно среднему значению изменения функции (-4/2 = -2 ≠ -2), поэтому функция y = 2x - x^2 не удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа. B). y = 1 -√(3x^2) Проверим функцию на условия теоремы Лагранжа аналогично предыдущему случаю. Вычислим разность значений функции на концах отрезка: f(3) - f(1): f(3) = 1 - √(3*3^2) = 1 - √(3*9) = 1 - √27 = 1 - 3√3 f(1) = 1 - √(3*1^2) = 1 - √(3*1) = 1 - √3 Таким образом, f(3) - f(1) = (1 - 3√3) - (1 - √3) = -2√3 Посчитаем разность значений аргументов: 3 - 1 = 2. Теперь найдем значение производной на интервале (1, 3) и убедимся, что оно равно среднему значению изменения функции: f'(x) = -√(3x^2) Вычислим производную в некоторой точке c на интервале (1, 3): f'(c) = -√(3c^2) Подставим полученное значение разности значений функции и разности аргументов: f'(c) = -2√3/2 = -√3 Мы видим, что значение производной равно среднему значению изменения функции (-√3 = -√3), поэтому функция y = 1 -√(3x^2) удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа. С). y = x^3 + 3x - 5 Вычислим разность значений функции на концах отрезка: f(3) - f(1): f(3) = 3^3 + 3*3 - 5 = 27 + 9 - 5 = 31 f(1) = 1^3 + 3*1 - 5 = 1 + 3 - 5 = -1 Таким образом, f(3) - f(1) = 31 - (-1) = 32 Посчитаем разность значений аргументов: 3 - 1 = 2. Теперь найдем значение производной на интервале (1, 3) и убедимся, что оно равно среднему значению изменения функции: f'(x) = 3x^2 + 3 Вычислим производную в некоторой точке c на интервале (1, 3): f'(c) = 3c^2 + 3 Подставим полученное значение разности значений функции и разности аргументов: f'(c) = 32/2 = 16 Мы видим, что значение производной не равно среднему значению изменения функции (16 ≠ 16), поэтому функция y = x^3 + 3x - 5 не удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа. D). y = (x + 5)/2 Вычислим разность значений функции на концах отрезка: f(3) - f(1): f(3) = (3 + 5)/2 = 8/2 = 4 f(1) = (1 + 5)/2 = 6/2 = 3 Таким образом, f(3) - f(1) = 4 - 3 = 1 Посчитаем разность значений аргументов: 3 - 1 = 2. Теперь найдем значение производной на интервале (1, 3) и убедимся, что оно равно среднему значению изменения функции: f'(x) = 1/2 Вычислим производную в некоторой точке c на интервале (1, 3): f'(c) = 1/2 Подставим полученное значение разности значений функции и разности аргументов: f'(c) = 1/2 = 1/2 Мы видим, что значение производной равно среднему значению изменения функции (1/2 = 1/2), поэтому функция y = (x + 5)/2 удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа. E). y = 2x^4 + x Вычислим разность значений функции на концах отрезка: f(3) - f(1): f(3) = 2*3^4 + 3 = 2*81 + 3 = 162 + 3 = 165 f(1) = 2*1^4 + 1 = 2*1 + 1 = 2 + 1 = 3 Таким образом, f(3) - f(1) = 165 - 3 = 162 Посчитаем разность значений аргументов: 3 - 1 = 2. Теперь найдем значение производной на интервале (1, 3) и убедимся, что оно равно среднему значению изменения функции: f'(x) = 8x^3 + 1 Вычислим производную в некоторой точке c на интервале (1, 3): f'(c) = 8c^3 + 1 Подставим полученное значение разности значений функции и разности аргументов: f'(c) = 162/2 = 81 Мы видим, что значение производной не равно среднему значению изменения функции (81 ≠ 81), поэтому функция y = 2x^4 + x не удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа. Итак, из предложенных функций, только функции B) y = 1 -√(3x^2) и D) y = (x + 5)/2 удовлетворяют условиям теоремы Лагранжа на отрезке [1,3].