Китайская теорема об остатке утверждает, что если имеется система сравнений вида: x ≡ a1 (mod m1) x ≡ a2 (mod m2) ... x ≡ ak (mod mk) где m1, m2, ..., mk — попарно взаимно простые числа, то эта система сравнений имеет единственное решение в целых числах x, которое можно найти следующим образом: 1. Находим Mi — произведение всех модулей, кроме mi: Mi = m1 × m2 × ... × mi-1 × mi+1 × ... × mk. 2. Находим yi — обратный элемент для Mi по модулю mi: yi × Mi ≡ 1 (mod mi). 3. Решаем китайскую систему: x = a1 × yi × Mi + a2 × yi × Mi + ... + ak × yi × Mi (mod m) Теперь применим этот метод к данной системе сравнений: x ≡ 7 (mod 11) x ≡ 5 (mod 7) x ≡ 8 (mod 9) Модули в этой системе сравнений попарно взаимно просты, поэтому можно найти решение по формуле, описанной выше. Найдем Mi: M1 = 7 × 9 = 63, M2 = 11 × 9 = 99, M3 = 11 × 7 = 77. Теперь найдем обратные элементы yi по модулям mi: 63y1 ≡ 1 (mod 11) ⇒ y1 = 5, 99y2 ≡ 1 (mod 7) ⇒ y2 = 1, 77y3 ≡ 1 (mod 9) ⇒ y3 = 5. Осталось только подставить все значения в формулу: x = 7 × 5 × 63 + 5 × 1 × 99 + 8 × 5 × 77 (mod 11 × 7 × 9) = 1928 (mod 693) Ответ: x ≡ 1928 (mod 693).