Сначала рассмотрим выигрышные позиции для Игоря. Игорь выигрывает, если на доске, изначально пустой, будет любое число, не кратное 6. Теперь рассмотрим ситуацию, когда Игорь выбирает цифру, и Борис сразу после этого выбирает следующую цифру. Предположим, Игорь выбирает цифру 0. В этом случае Игорь может выбрать любую из оставшихся цифр от 0 до 9. Борис имеет две возможности: он может выбрать цифру, чтобы получить число, кратное 6 и выиграть, или он может выбрать цифру, чтобы получить число, не кратное 6, и проиграть. Пусть Борис выбирает цифру 0. Теперь на доске написано число 0. Игорь также может выбрать цифру от 0 до 9. В этой ситуации Борис имеет единственную возможность выбрать следующую цифру так, чтобы получить число кратное 6. Например, если Игорь выберет цифру 0, то Борис может выбрать цифру 0 и на доске будет число 00. В этом случае Борис выигрывает. Если же Борис выберет любую другую цифру, например, 1, то на доске будет число 01. В этой ситуации Игорь имеет возможность выбрать цифру, чтобы получить число, не кратное 6. Например, Игорь может выбрать цифру 8 и на доске будет число 018. В этом случае Игорь выигрывает. Теперь рассмотрим ситуацию, когда Игорь выбирает цифру, и Борис выбирает следующую после этого цифру. Пусть Игорь выбирает цифру 1. Теперь на доске написано число 1. Борис может выбрать любую цифру, и в любом случае на доске окажется число, не кратное 6 (например, 10, 11, 12 и т. д.). В этом случае Игорь выигрывает. Таким образом, если Игорь выбирает цифру 0, Борис может выбирать следующую цифру так, чтобы получить число, кратное 6, и выиграть. В остальных случаях Игорь имеет выигрышную стратегию. Ответ: Игорь имеет выигрышную стратегию. Его выигрышная стратегия состоит в выборе любой цифры, кроме 0, на первом ходу, а затем следовать противоположной стратегии Бориса — выбирать цифру так, чтобы получившееся число было не кратным 6.