Предположим, что в гимназии есть $n$ восьмиклассников. Каждый из них получил либо 10, либо 12 оценок по алгебре. Пусть $x$ восьмиклассников получило 10 оценок, а $(n-x)$ восьмиклассников получило 12 оценок. Рассмотрим сумму всех оценок по алгебре для каждого из $n$ восьмиклассников. Для восьмиклассника, который получил 10 оценок, средний балл будет равен $10 cdot 2 = 20$. Для восьмиклассника, который получил 12 оценок, средний балл будет равен $12 cdot 2 = 24$. По условию задачи, средние баллы за год различны для любых двух восьмиклассников. Это означает, что сумма всех оценок у каждого восьмиклассника должна быть различной. Известно, что сумма всех оценок может принимать значения от $2 cdot 10 = 20$ до $5 cdot 12 = 60$. Предположим, что первые $x$ восьмиклассников получили минимальные суммы оценок, то есть каждый из них получил по две оценки, и они все получили оценку 5. Тогда сумма всех их оценок будет равна $x cdot 5 cdot 2 = 10x$. Предположим, что последние $(n-x)$ восьмиклассников получили максимальные суммы оценок, то есть каждый из них получил по пять оценок, и все оценки были равны 2. Тогда сумма всех их оценок будет равна $(n-x) cdot 2 cdot 5 = 10(n-x)$. Таким образом, если сумма всех оценок для каждого восьмиклассника должна быть различной, то должно выполняться неравенство $10x < 20 < 10(n-x)$. Разделим это неравенство на 10: $x < 2 < n-x$ Отсюда следует, что $x < n-x < n$. Наибольшее возможное значение $x$ будет равно $leftlfloor frac{n}{2} rightrfloor$. То есть, максимальное количество восьмиклассников будет достигаться, когда $x$ будет равно $leftlfloor frac{n}{2} rightrfloor$ и $(n-x)$ будет равно $leftlceil frac{n}{2} rightrceil$. В таком случае, число восьмиклассников будет равно $x + (n-x) = leftlfloor frac{n}{2} rightrfloor + leftlceil frac{n}{2} rightrceil$. Таким образом, наибольшее количество восьмиклассников, которое может быть в гимназии, равно $leftlfloor frac{n}{2} rightrfloor + leftlceil frac{n}{2} rightrceil$.