Пусть количество восьмиклассников, получивших оценку 8, равно X, а количество восьмиклассников, получивших оценку 10, равно Y. Так как нам известно, что у любых двух восьмиклассников средние баллы по алгебре за год различны, можно сказать, что у восьмиклассников, получивших оценку 8, средний балл будет равен 8, а у восьмиклассников, получивших оценку 10, средний балл будет равен 10. Средний балл учеников, получивших оценку 8, равен 8, поэтому, если сумма всех оценок, полученных этими учениками, равна 8X, то сумма оценок равна 8X + 10Y. Так как ученики получили от 2 до 5 оценок, то сумма оценок равна (2*X + 3*X + 4*X + 5*X) + (2*Y + 3*Y + 4*Y + 5*Y) = 14X + 14Y. Таким образом, уравнение, описывающее сумму оценок учеников, можно записать в следующем виде: 14X + 14Y = 8X + 10Y. Упростим уравнение: 6X = 4Y 3X = 2Y. Для нахождения наибольшего количества восьмиклассников в гимназии нужно найти решение этого уравнения с наибольшими возможными значениями X и Y, при условии, что X и Y являются целыми числами. Наибольшее общее делитель чисел 3 и 2 равен 1. Если поделить обе стороны уравнения на наибольший общий делитель, получим: X = 2 Y = 3. Таким образом, наибольшее количество восьмиклассников, которое может быть в гимназии, равно 2 + 3 = 5.