Данная задача связана с определением наибольшего количества восьмиклассников в гимназии при определенных условиях. Определение этого количества требует выполнения нескольких шагов. Для начала, по условию задачи известно, что каждый из восьмиклассников гимназии №1 получил либо 10, либо 12 оценок по алгебре за год. Оценки варьируются от 2 до 5. Пусть у нас имеется N восьмиклассников в гимназии. Так как каждый из них получает либо 10, либо 12 оценок по алгебре за год, мы можем записать следующее неравенство: 10N ≤ 2N + 5N (так как каждый восьмиклассник, получивший по 10 оценок, будет иметь средний балл, равный 10, а каждый восьмиклассник, получивший по 12 оценок, будет иметь средний балл, равный 12) Упрощая это неравенство, получим: 10N ≤ 7N Отсюда следует, что N ≥ 20. Из этого можем сделать вывод, что в гимназии №1 может находиться не менее 20 восьмиклассников. Однако, в условии задачи сказано, что у любых двух восьмиклассников средние баллы по алгебре за год различны. Это означает, что нельзя иметь двух восьмиклассников с одинаковым количеством оценок. Таким образом, в гимназии может находиться не менее 20 восьмиклассников при условии, что каждый из них имеет разное количество оценок по алгебре за год. Для нахождения наибольшего количества восьмиклассников в гимназии, нужно найти такое число N, при котором каждый восьмиклассник имеет разное количество оценок и количество оценок для каждого восьмиклассника является максимально возможным. Для определения такого N нужно подобрать такое количество оценок, при котором средний балл (сумма всех оценок, деленная на их количество) не будет совпадать у двух восьмиклассников. Предположим, что все восьмиклассники имеют по 10 оценок. В этом случае средний балл для каждого восьмиклассника будет равен 10. Но для того, чтобы сделать каждый средний балл различным, необходимо иметь возможность увеличить сумму оценок у некоторых восьмиклассников. Таким образом, можно предложить следующую стратегию для максимизации количества восьмиклассников в гимназии: - Большинству восьмиклассников дать по 10 оценок. - Некоторым восьмиклассникам дать по 12 оценок. Таким образом, мы сможем увеличить средний балл некоторых восьмиклассников, не нарушая условие задачи о различии средних баллов у двух восьмиклассников. Определим, сколько восьмиклассников может получить по 12 оценок. Пусть X - количество восьмиклассников, получивших по 12 оценок. Тогда: 10(N-X) + 12X ≤ 5N (так как мы хотим, чтобы средний балл для каждого восьмиклассника был максимальным, но не превышал 5) Упростим это неравенство: 10N - 10X + 12X ≤ 5N -2X ≤ -5N 2X ≥ 5N Таким образом, мы получаем, что X ≥ (5/2)N. Опять же, учитывая условие задачи, что количество оценок должно быть целочисленным, получим, что X должно быть как минимум равно (5/2)N или округлено вверх до ближайшего целого числа. Таким образом, мы можем заключить, что наибольшее количество восьмиклассников в гимназии №1 может быть равно 20, при условии, что 10 из них имеют по 10 оценок, а остальные 10 имеют по 12 оценок. Таким образом, максимальное количество восьмиклассников в данной гимназии равно 20, при условии, что каждый из них имеет разное количество оценок, а количество оценок у некоторых из них максимально возможно и составляет 12.