Пусть восьмиклассников в гимназии №1 будет максимальное возможное количество. Обозначим это количество как N. У каждого восьмиклассника есть два варианта получить 8 или 10 оценок по алгебре. Значит, всего может быть 2^N комбинаций оценок среди всех восьмиклассников. В данной задаче нас интересует наибольшее возможное количество восьмиклассников, а не точное количество. Поэтому мы можем использовать двоичную систему счисления для описания комбинаций оценок. Представим каждую комбинацию в виде бинарного числа, где 1 соответствует оценке 10, а 0 – оценке 8. Рассмотрим следующие примеры: - Для N=1: Возможные комбинации оценок – 0 и 1. В двоичной системе счисления это числа 0 и 1. Получается, что можно иметь максимум 2 восьмиклассника. - Для N=2: Возможные комбинации оценок – 00, 01, 10 и 11. В двоичной системе счисления это числа 0, 1, 2 и 3. У нас получается, что можно иметь максимум 4 восьмиклассника. - Для N=3: Возможные комбинации оценок – 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110 и 111. В двоичной системе счисления это числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7. У нас получается, что можно иметь максимум 8 восьмиклассников. - Для N=4: Возможные комбинации оценок – 0000, 0001, 0010, 0011, 0100, 0101, 0110, 0111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110 и 1111. В двоичной системе счисления это числа от 0 до 15. У нас получается, что можно иметь максимум 16 восьмиклассников. Из этих примеров мы видим закономерность: на любое количество восьмиклассников N, максимальное число восьмиклассников будет равно 2^N. Таким образом, наибольшее количество восьмиклассников, которое может быть в гимназии №1, составляет 2^N, где N – количество восьмиклассников.