Задача предлагает найти наибольшее возможное количество восьмиклассников в гимназии, учитывая условия оценивания. Давайте разберемся, как это можно сделать. Пусть в гимназии есть n восьмиклассников. Так как каждый ученик может получить либо 8, либо 10 оценок, то общее количество оценок в гимназии равно 8n или 10n. По условию задачи, средние баллы по алгебре у двух восьмиклассников не могут быть одинаковыми. Это означает, что каждый восьмиклассник должен получить уникальную сумму оценок по алгебре. Из этого следует, что количество уникальных сумм оценок равно n. Так как для каждой суммы оценок восьмиклассника можно использовать только одну оценку, их общее количество ограничено количеством оценок в гимназии (8n или 10n). Из этого следует, что n ≤ 8n или n ≤ 10n, в зависимости от количества оценок. Рассмотрим оба случая: 1. n ≤ 8n: Для этого случая максимальное n будет равно 8n. То есть, каждый восьмиклассник получит по одной оценке с уникальной суммой, и все оценки будут использованы. Так как каждый восьмиклассник получает либо 8, либо 10 оценок, то n ≤ 8n будет выполняться только при n = 0 или n = 1. Значит, максимально возможное количество восьмиклассников в данном случае равно 1. 2. n ≤ 10n: Для этого случая максимальное n будет равно 10n. То есть, каждый восьмиклассник получит по одной оценке с уникальной суммой, и все оценки будут использованы. Так как каждый восьмиклассник получает либо 8, либо 10 оценок, то n ≤ 10n будет выполняться только при n = 0 или n = 1. Значит, максимально возможное количество восьмиклассников в данном случае также равно 1. Таким образом, независимо от количества оценок, в данной гимназии наибольшее возможное количество восьмиклассников равно 1.