Поставим себя на место ученика гимназии №1 и попытаемся решить задачу. Пусть у нас есть N восьмиклассников в гимназии. Каждый из них получил 10 или 12 оценок по алгебре. Значит, средний балл каждого ученика может быть равен либо 5 (если он получил только оценку 5), либо 4 (если он получил только оценку 4), либо 3 (если он получил только оценку 3), либо 2 (если он получил только оценку 2), либо между 4 и 5 (если он получил какие-то оценки 4 и какие-то оценки 5). Теперь посмотрим на условие задачи: "Известно, что у любых двух восьмиклассников средние баллы по алгебре за год различны". Это значит, что в гимназии не может быть двух восьмиклассников с одинаковыми средними баллами. Также, у нас есть только 5 возможных значений среднего балла. Попробуем построить такое распределение оценок, чтобы удовлетворить условию задачи. Для этого мы должны распределить учеников по разным значениям среднего балла так, чтобы не было двух учеников с одним и тем же средним баллом. Давайте начнем с самого высокого среднего балла, равного 5. Пусть n1 - количество учеников с средним баллом 5. Из условия задачи мы знаем, что n1 не может быть равно 0 (потому что у нас должен быть хотя бы один ученик с средним баллом 5) и не может быть равно N (потому что, согласно условию задачи, у нас не может быть всех учеников с средним баллом 5). Теперь у нас остается 4 возможных значения среднего балла для распределения остальных учеников - 4, 3 или 2. Пусть n2 - количество учеников с средним баллом 4, n3 - количество учеников с средним баллом 3 и n4 - количество учеников с средним баллом 2. Получаем следующую систему уравнений: n1 + n2 + n3 + n4 = N (общее количество учеников) n1 + n2 = n1 + n3 = n1 + n4 = n2 + n3 = n2 + n4 = n3 + n4 = N (условие различия средних баллов) Если мы найдем решение этой системы уравнений, то получим распределение оценок, соответствующее задаче. Проанализируем такую систему уравнений. Видно, что n1 равно N/5, так как у нас всего 5 возможных значений для среднего балла и одно из них - 5. Подставим это значение в систему уравнений: N/5 + n2 + n3 + n4 = N N/5 + n3 + n4 = n2 + n3 = n2 + n4 = n3 + n4 = N Мы видим, что нам нужно найти такие значения n2, n3 и n4, чтобы их сумма равнялась 4N/5. Так как каждое из этих чисел должно быть целым, то можно заметить, что сумма 4N/5 будет делиться на 4. В таком случае, мы можем положить n2 = n3 = n4 = 4N/15. Итак, у нас есть следующее распределение оценок по среднему баллу: n1 = N/5 (средний балл 5) n2 = n3 = n4 = 4N/15 (средние баллы 4, 3 и 2) Теперь найдем максимальное значение N, при котором это распределение оценок возможно. Подставим значения n1, n2, n3 и n4 в первое уравнение системы: N/5 + 3N/15 + 3N/15 + 3N/15 = N N/5 + 9N/45 + 9N/45 + 9N/45 = N N/5 + (9N+9N+9N)/45 = N N/5 + 27N/45 = N (N+9N)/5 = N 10N = 5N N = 5 Итак, максимальное количество восьмиклассников в гимназии №1 - 5. При таком распределении оценок мы будем иметь 1 ученика со средним баллом 5 и по 4 ученика с каждым из оставшихся средних баллов.