Мы рассматриваем ситуацию, когда в гимназии №1 у всех восьмиклассников одинаковое количество оценок по алгебре и у каждого оценки лежат в интервале от 2 до 5. За год каждый ученик получает либо 12 оценок, либо 14 оценок. Давайте представим, что в гимназии есть наибольшее количество восьмиклассников. Пусть это количество равно N. Каждый ученик получает либо 12, либо 14 оценок. Средний балл - это сумма всех оценок, деленная на их количество. Пусть средний балл у одного ученика равен X (в числе оценок у этого ученика может быть как 12, так и 14). Тогда сумма всех оценок у одного ученика будет равна X * 12 или X * 14, в зависимости от количества оценок. Суммарное количество оценок по алгебре, полученных всеми восьмиклассниками, равно N * X * 12 + (N - X) * 14. Мы знаем, что у любых двух восьмиклассников средние баллы по алгебре за год различны. То есть, для любых двух учеников, средние баллы X и Y, где X и Y лежат в интервале от 2 до 5, должны быть различными. Давайте рассмотрим двух восьмиклассников, у которых средние баллы X и Y. Если X < Y, то суммарное количество оценок по алгебре, полученных этими двумя учениками, будет равно X * 12 + Y * 14. Мы должны выбрать такие X и Y, чтобы суммарное количество оценок по алгебре, полученных всеми восьмиклассниками (N * X * 12 + (N - X) * 14), максимально. Очевидно, что нам выгодно выбирать самые высокие значения для X и Y. Если X = 5 и Y = 4, то суммарное количество оценок по алгебре, полученных двумя учениками, будет равно 5 * 12 + 4 * 14 = 108. В этом случае мы получаем максимальное возможное суммарное количество оценок по алгебре, полученных двумя учениками. Теперь мы можем рассчитать максимальное количество восьмиклассников, которое может быть в гимназии. Суммарное количество оценок по алгебре, полученных всеми восьмиклассниками (N * X * 12 + (N - X) * 14), равно 108 * N. Мы хотим максимизировать это выражение, ограничиваясь условием, что все средние баллы должны быть различными. Так как максимальный средний балл для оценки 5 - это 5, то мы можем сказать, что максимум средних баллов по алгебре для всех восьмиклассников равен 5. Тогда, чтобы достичь максимального возможного количества восьмиклассников, мы должны выбрать самое большое N такое, что 108 * N <= 5 * N. То есть, мы можем выбрать N такое, что N <= 108/5 . Вычисляем: 108/5 ≈ 21,6. Так как N - это целое число, то мы можем выбрать наибольшее возможное N равное 21. Значит, наибольшее возможное количество восьмиклассников в гимназии №1 равно 21.