Данная задача решается с помощью системы уравнений. Рассмотрим натуральное число x вида $x = 8k + 7$, где k - некоторое натуральное число. Общая формула для нахождения натуральных делителей числа x дается произведением всех степеней простых чисел, входящих в его разложение на множители. В данном случае мы знаем, что x имеет делители, дающие остаток 2, 3 и 4 при делении на 8. Поскольку число x делится на $8 = 2^3$, в его разложение на простые множители должно входить $2^3$ в некоторой степени k. Также имеется информация о числителях, которые дают остаток 2, 3 и 4 при делении на 8. Числитель, дающий остаток 2 при делении на 8, имеет форму $8n + 2$, где n - некоторое натуральное число. Числитель, дающий остаток 3 при делении на 8, имеет форму $8m + 3$, где m - некоторое натуральное число. Числитель, дающий остаток 4 при делении на 8, имеет форму $8l + 4$, где l - некоторое натуральное число. Учитывая вышеприведенную информацию, мы можем записать систему уравнений: [ begin{cases} x = 8k + 7 \ 8n + 2 mid x \ 8m + 3 mid x \ 8l + 4 mid x \ end{cases} ] Решим систему уравнений поочередно. $8n + 2 mid x$ означает, что существует такое натуральное число a, что $x = (8n + 2) cdot a$. Тогда $8k + 7 = (8n + 2) cdot a Rightarrow 8k + 7 = 2(4n + 1) cdot a$. Значит, 8k + 7 делится на 2, и 8k + 7 делится на 4n + 1. То есть $8k + 7 equiv 0 pmod{2(4n + 1)}$. Рассмотрим подробнее значение $8k + 7 equiv 0 pmod{2(4n + 1)}$. Поскольку $8k + 7$ нечетное, то $2(4n + 1)$ также нечетно, а значит, ему можно приписать вид $(4n + 1) cdot b$, где b - некоторое натуральное число. Таким образом, получаем $8k + 7 equiv 0 pmod{(4n + 1) cdot b}$. Это означает, что имеет место сравнение $8k + 7 = (4n + 1) cdot b Rightarrow 8k + 7 = 4nb + b$. Значит, 8k + 7 делится на 4 и на b. Обозначим $8k + 7 = 4x$. Тогда имеем систему сравнений: [ begin{cases} 8k + 7 equiv 0 pmod{2(4n + 1)} \ 8k + 7 equiv 0 pmod{4b} \ 8k + 7 equiv 3 pmod{8} \ end{cases} ] Мы знаем, что число x делится на 8, и 8k + 7 = 4x. Значит, 4x = 8k + 7 делится на 8. Следовательно, 7 делится на 4, то есть 8k = 4x - 7 делится на 8. Перепишем систему сравнений, учитывая новые условия: [ begin{cases} 4x - 7 equiv 0 pmod{2(4n + 1)} \ 4x - 7 equiv 0 pmod{4b} \ 4x - 7 equiv 3 pmod{8} \ end{cases} ] Решим систему сравнений поочередно. 1) Рассмотрим сравнение $4x - 7 equiv 3 pmod{8}$. Добавим 7 к обеим частям сравнения: $4x equiv 10 pmod{8}$. 4 и 8 взаимно простые, поэтому здесь мы можем сократить на 2: $2x equiv 5 pmod{8}$. Умножим обе части сравнения на обратный элемент для 2 по модулю 8. Обратный элемент для 2 по модулю 8 - это 4, потому что $4 cdot 2 equiv 1 pmod{8}$. Поэтому $2x equiv 5 cdot 4 pmod{8}$. $2x equiv 20 pmod{8}$. Мы знаем, что $20 equiv 4 pmod{8}$, поэтому $2x equiv 4 pmod{8}$. Сократим на 2: $x equiv 2 pmod{8}$. 2) Рассмотрим сравнение $4x - 7 equiv 0 pmod{4b}$. Добавим 7 к обеим частям сравнения: $4x equiv 7 pmod{4b}$. 4 и 4b взаимно простые, поэтому здесь мы можем сократить на 4: $x equiv frac{7}{4} pmod{b}$. Таким образом, имеется решение данного сравнения только в том случае, если b делит 7. 7 простое число, поэтому его делители - это 1 и 7. Значит, сравнение имеет решение, когда $b = 1$ или $b = 7$. 3) Рассмотрим сравнение $4x - 7 equiv 0 pmod{2(4n + 1)}$. [ 4x equiv 7 pmod{2(4n + 1)} \ 2x equiv frac{7}{2} pmod{4n + 1} ] 4 является обратным элементом для 2 по модулю $4n + 1$, потому что $4 cdot 2 equiv 1 pmod{4n + 1}$. Поэтому можем вычислить: [ x equiv frac{7}{2} cdot 4 pmod{4n + 1} \ x equiv 14 pmod{4n + 1} ] Обозначим $x = 14 + (4n + 1)m$, где m - некоторое натуральное число. Тогда [ x = 14 + 4nm + m \ x = 4(3 + nm) + m ] У нас есть два условия: $x equiv 2 pmod{8}$ и $x = 4(3 + nm) + m$. Заметим, что $3 + nm equiv 1 pmod{2}$, то есть $3 + nm$ - нечетное число. Обозначим $3 + nm = 2t + 1$, где t - некоторое натуральное число. Тогда [ x = 4(3 + nm) + m \ x = 4(2t + 1) + m \ x = 8t + 4 + m \ x equiv 4 + m pmod{8} ] Мы также знаем, что x находится в форме $x = 8k + 7$. Имеем систему сравнений: [ begin{cases} x equiv 2 pmod{8} \ x equiv 7 pmod{8} \ end{cases} ] Система несовместна, поэтому задача не имеет решения. Ответ: В данной задаче не существует чисел, которые при делении на 8 дают остаток 7.