Пусть данное натуральное число равно N. Тогда мы знаем, что у него есть делители, которые дают остаток 2 при делении на 8, остаток 3 при делении на 8 и остаток 4 при делении на 8. Нам нужно найти количество делителей N, которые дают остаток 7 при делении на 8.
Для начала разберемся с остатком 2. Если некоторый делитель N даёт остаток 2 при делении на 8, то он может быть представлен в виде 8k + 2, где k - некоторое натуральное число. Поэтому мы знаем, что числа 2, 10, 18, 26, ... (то есть числа, у которых остаток при делении на 8 равен 2) являются делителями N. Все эти числа можно записать в виде 8m + 2, где m = 0, 1, 2, 3, ..., 49 (ведь у нас есть ровно 50 таких чисел).
Теперь разберемся с остатком 3. Аналогично, если некоторый делитель N даёт остаток 3 при делении на 8, то он может быть представлен в виде 8k + 3, где k - некоторое натуральное число. Мы знаем, что числа 3, 11, 19, 27, ... (то есть числа, у которых остаток при делении на 8 равен 3) являются делителями N. Все эти числа можно записать в виде 8m + 3, где m = 0, 1, 2, 3, ..., 24 (ведь у нас есть ровно 25 таких чисел).
Наконец, разберемся с остатком 4. Аналогично, если некоторый делитель N даёт остаток 4 при делении на 8, то он может быть представлен в виде 8k + 4, где k - некоторое натуральное число. Мы знаем, что числа 4, 12, 20, 28, ... (то есть числа, у которых остаток при делении на 8 равен 4) являются делителями N. Все эти числа можно записать в виде 8m + 4, где m = 0, 1, 2, 3, ..., 99 (ведь у нас есть ровно 100 таких чисел).
Теперь объединим все эти выражения в одно. Пусть a - общее количество делителей N, которые дают остаток 7 при делении на 8. Тогда мы можем записать уравнение:
a = 8n + 7,
где n - некоторое натуральное число.
Мы знаем, что a должно быть наименьшим натуральным числом, удовлетворяющим условиям задачи, поэтому ищем наименьшее n.
Подставим значения n = 0, 1, 2, ... и найдем первое значение a, которое подходит. Натуральные числа, удовлетворяющие a = 8n + 7 можно записать как 7, 15, 23, 31, ..., то есть числа, у которых остаток при делении на 8 равен 7.
Мы знаем, что среди всех делителей N есть 50 чисел, дающих остаток 2 при делении на 8, 25 чисел, дающих остаток 3 при делении на 8 и 100 чисел, дающих остаток 4 при делении на 8.
Теперь мы можем записать уравнение:
50 = 8m + 2,
25 = 8p + 3,
100 = 8q + 4,
где m, p, q - некоторые натуральные числа.
Давайте решим эти уравнения.
Первое уравнение 50 = 8m + 2 можно привести к виду:
48 = 8m
m = 6.
Второе уравнение 25 = 8p + 3 можно привести к виду:
22 = 8p
p = 2.
Третье уравнение 100 = 8q + 4 можно привести к виду:
96 = 8q
q = 12.
Теперь мы знаем, что m = 6, p = 2, q = 12.
Вернемся к уравнению a = 8n + 7. Подставим значения n = 0, 1, 2, ... и найдем первое значение a, которое подходит.
При n = 0: a = 8*0 + 7 = 7.
При n = 1: a = 8*1 + 7 = 15.
При n = 2: a = 8*2 + 7 = 23.
Таким образом, первое значение a, которое подходит, равно 23.
Ответ: Возможные значения a равны 23, 31, 39, ... и так далее. Это числа, дающие остаток 7 при делении на 8.
