а) Для доказательства того, что треугольник ABC является прямоугольным, нам необходимо использовать теорему о трех перпендикулярах. Согласно данной теореме, если прямая а параллельна стороне AD и не лежит в плоскости прямоугольника, то треугольник ABC является прямоугольным. Для начала, обозначим точку пересечения прямой a и стороны AB как E. Также обозначим точку пересечения прямой a и стороны BC как F. Заметим, что по определению параллельности, линия EF параллельна прямой BC и DE параллельна прямой AB. Теперь рассмотрим треугольник AEF. Так как EF параллельна стороне AB и линия DE параллельна стороне AD, то треугольник AEF является подобным треугольнику ABD по углу. Так как треугольник ABD прямоугольный, то образующие прямого угла являются осями симметрии для этого треугольника. Следовательно, угол AEF также является прямым углом. Таким образом, треугольник ABC имеет два прямых угла и, следовательно, является прямоугольным. б) Чтобы доказать, что прямые a и BD скрещивающиеся, нам нужно показать, что эти прямые пересекаются. Поскольку прямая a идет параллельно стороне AD, то угол ABD будет равен углу ADB (из определения параллельных линий). Если прямые a и BD пересекаются, то треугольник ABD будет прямоугольным, так как BA будет являться перпендикуляром к BD. Чтобы определить, является ли треугольник ABD прямоугольным, воспользуемся теоремой Пифагора. В треугольнике ABD у нас есть сторона AB, равная 18 см, и сторона AD, которая является одной из сторон прямоугольника ABCD и, следовательно, равна BC, что равно 24 см. По теореме Пифагора: AB^2 + AD^2 = BD^2 Подставим значения: 18^2 + 24^2 = BD^2 324 + 576 = BD^2 900 = BD^2 Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон: BD = √900 BD = 30 см Таким образом, сторона BD равна 30 см. Получается, что у треугольника ABD √324 + √576 = √900, что верно. Значит, сторона BD равна 30 см, а значит, что BA является перпендикуляром к BD. Следовательно, прямые a и BD пересекаются, и треугольник ABD является прямоугольным. в) Чтобы найти косинус угла между прямыми a и BD, нам необходимо использовать определение косинуса как отношение сторон треугольника. Зная стороны AB = 18 см и BC = 24 см треугольника ABC, мы можем найти гипотенузу треугольника ABC, используя теорему Пифагора: AC^2 = AB^2 + BC^2 AC^2 = 18^2 + 24^2 AC^2 = 324 + 576 AC^2 = 900 Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон: AC = √900 AC = 30 см Таким образом, гипотенуза треугольника ABC равна 30 см. Теперь, чтобы найти косинус угла между прямыми a и BD, мы можем использовать формулу косинуса: cos(угол) = AD / AC Мы знаем, что сторона AD равна BC, то есть 24 см. Также мы знаем, что гипотенуза AC равна 30 см. Подставим значения: cos(угол) = 24 / 30 Упростим дробь: cos(угол) = 4 / 5 Таким образом, косинус угла между прямыми a и BD равен 4/5.