Дано, что точка M является серединой дуги AD окружности Ω. Это означает, что дуги AM и MD равны по длине и равны половине длины окружности Ω. Также дано, что отношение AP:PQ:QD равно 1:7:2. Рассмотрим треугольник OAB, где O - центр окружности Ω. Поскольку точка M является серединой дуги AD, угол AOM равен половине угла AOB. Из этого следует, что треугольники OAM и OBM подобны. Рассмотрим отношение длин отрезков AP и PQ. Поскольку треугольники OAM и OBM подобны, отношение длин соответствующих сторон равно отношению длин AP и PQ. Из условия дано, что это отношение равно 1:7. Поэтому, длина отрезка PQ равна 7 * длина отрезка AP. Таким же образом, можно рассмотреть отношение длин отрезков QD и PQ. Поскольку треугольники ODM и OCM подобны, отношение длин соответствующих сторон равно отношению длин QD и PQ. Из условия дано, что это отношение равно 2:7. Поэтому, длина отрезка QD равна 2 * длина отрезка PQ. Теперь рассмотрим треугольник ABD. Поскольку точка M лежит на окружности Ω, угол AMD также является половиной угла ABD. Из этого следует, что треугольники AMD и BMD подобны. Из подобия треугольников AMD и BMD можно установить следующие отношения: DM/DM = AM/BM 2 * DM/ BM = AM 2 * DM/ (BD - BM) = AM 2 * DM/ (BD - DM) = AM Данные отношения позволяют нам выразить длины отрезков AM и DM через длину отрезка BM: AM = 2 * DM/ (BD - DM) DM = BM * AM / (AM + BM) Теперь мы можем выразить длины отрезков AP, PQ и QD через длину отрезка BM: AP = BM - AM PQ = 7 * AP QD = 2 * PQ Как мы уже выяснили, PQ = 7 * AP, поэтому QD = 14 * AP. Теперь мы можем выразить длины отрезков AP, PQ и QD через длину отрезка BM: AP = BM - AM PQ = 7 * AP QD = 14 * AP По условию задачи отношение длин отрезков AP, PQ и QD равно 1:7:2. Поэтому, можно записать уравнение: AP + PQ + QD = BM - AM + 7 * (BM - AM) + 14 * (BM - AM) = 1 * (BM - AM) + 7 * (BM - AM) + 2 * (BM - AM) = 10 * (BM - AM) Теперь мы можем выразить длину отрезка AM через длину отрезка BM: 10 * (BM - AM) = (BM - AM) / (BM + DM) = 1/10 Таким образом, BM - AM = 1/10. Теперь рассмотрим треугольник ABC. Из подобия треугольников OAM и OBM следует, что отношение длин сторон AB и BC равно отношению длин AM и BM: AB/BC = AM/BM Также, из подобия треугольников AMD и BMD следует, что отношение длин сторон AB и BC равно отношению длин DM и BM: AB/BC = DM/BM Следовательно, AM/BM = DM/BM. Поскольку BM не равно нулю (если точка M не совпадает с точкой B или C), то AM = DM. Из уравнения BM - AM = 1/10 следует, что BM = 11/10. Теперь мы можем выразить длины отрезков AM, BM и CM через длину отрезка BM: AM = 1/10 BM = 11/10 CM = 21/10 Теперь рассмотрим треугольник ABD. Так как точка M лежит на окружности Ω, AM и MD являются радиусами окружности Ω. Они равны половине длины BM: AM = 1/10 DM = 1/10 Теперь рассмотрим треугольник ABC. Из подобия треугольников OAM и OBM следует, что отношение длин сторон AB и BC равно отношению длин AM и BM: AB/BC = AM/BM Подставим значения AM и BM: AB/BC = 1/10 / 11/10 Упростим выражение: AB/BC = 1/11 Из условия задачи также следует, что отношение длин сторон AB и CD равно отношению длин AP и QD: AB/CD = AP/QD Подставим значения AP и QD: AB/CD = (BM - AM) / (14 * AP) Упростим выражение: AB/CD = (11/10 - 1/10) / (14 * 1/10) AB/CD = 1 / 14 Таким образом, значение выражения AC⋅BD / AB⋅CD равно: (AC * BD) / (AB * CD) = 1 / (1/11 * 1/14) = 11 * 14 = 154