Задача предполагает решение с использованием обыкновенных дробей и системы уравнений. Обозначим время, которое показывают стрелочные часы в момент разрядки батарейки, через переменную t. Так как стрелочные часы сразу замедляют свой ход, то в течение одной минуты после разрядки они останавливаются на полминуты t. Отсчет времени начинается сразу после полуночи, т.е. t=0 соответствует 0:00. Также обозначим время, которое показывают цифровые часы в момент разрядки батарейки, через переменную x. В то же время цифровые часы продолжают работать с постоянной скоростью, т.е. за каждую минуту они пройдут 1 минуту времени. Требуется найти значение x, когда стрелочные часы снова покажут верное время. После того, как батарейка разрядилась, прошло t минут. За это время стрелочные часы продвинулись на угол (1−k)t от положения 0:00 (полночь). Так как за каждую минуту они останавливаются на полминуты, их положение можно представить в виде суммы двух углов – связанного с временем движения на угол 0 и угла рассогласования. Первый угол, связанный с временем, равен угловой скорости стрелочных часов (360°/12° = 30° в час) умноженной на количество часов и угловой скорости минутной стрелки (360°/60° = 6° в час) умноженной на количество минут. То есть, угол стрелок, связанный с временем, можно выразить следующим образом: 30°t + 6°t = 36°t, где t – количество минут, прошедших после разрядки батарейки. Угол рассогласования стрелок равен (1−k)t. Тогда положение стрелок после разрядки можно выразить следующим образом: 36°t−(1−k)t = (36−1+k)t = (35+k)t. Для того чтобы стрелочные часы показали верное время, угол их положения должен быть кратен 30°. Для этого (35+k)t должно быть кратно 30°. Обратим внимание, что t – целое число, то есть (35+k)t – кратно 30° только если (35+k) – кратно 30. Минимальное значение k, при котором (35+k) делится нацело на 30, равно 5 (или 35+5=40 наример). Заметим, что так как раз в минуту стрелочные часы замедляют свой ход, k может быть только положительным целым числом. Таким образом, наименьшее возможное значение времени t (в минутах), когда стрелочные часы снова покажут верное время, будет наименьшим общим кратным чисел 30 и 40. Наименьшее общее кратное чисел 30 и 40 равно 120. То есть, стрелочные часы снова покажут верное время через 120 минут (или 2 часа). По условию задачи, цифровые часы синхронизованы со стрелочными, поэтому они также будут показывать верное время через 120 минут. Таким образом, цифровые часы будут показывать 2:00 (или 00:00 в 24-часовом формате) через 120 минут после разрядки батарейки. Ответ: 120 минут или 2 часа. Ответ: Цифровые часы будут показывать 2:00 через 120 минут после разрядки батарейки.