Пусть (t) - это количество минут, которое пройдет, пока стрелочные часы снова покажут верное время. За каждую минуту скорость хода стрелок уменьшается в (frac{1}{88}) раз, поэтому в момент, когда стрелки покажут верное время, пройдет (t) минут, а на этих минутах стрелки успели сделать (t + frac{t}{88} + frac{t}{88^2} + ... + frac{t}{88^t} = t(1+frac{1}{88} + frac{1}{88^2} + ... + frac{1}{88^t})) полных оборотов. Теперь рассмотрим цифровые часы. Чтобы они показали верное время, должно пройти ровно (t) минут. Предположим, что за этот промежуток на цифровых часах было сделано (d) оборотов (по 12 часов). Тогда на этих оборотах цифровые часы покажут (12d) часов. Таким образом, нам нужно найти такое минимальное (t), чтобы выполнялось условие (t(1+frac{1}{88} + frac{1}{88^2} + ... + frac{1}{88^t})) было кратно 12. Заметим, что (frac{1}{88} + frac{1}{88^2} + ... + frac{1}{88^t} = frac{frac{1}{88}(1 - (frac{1}{88})^t)}{1 - frac{1}{88}} = frac{1 - (frac{1}{88})^t}{frac{87}{88}}) Тогда условие можно записать как (t(1 - (frac{1}{88})^t) = 12 cdot frac{87}{88} cdot k), где (k) - некоторое целое число. Идея в том, чтобы перебирать значения (t) до тех пор, пока не найдется такое значение, для которого это условие выполняется. Программная реализация этого подхода выглядит следующим образом:

python

# функция для проверки, является ли значение t подходящим

def is_valid(t):

    return t * (1 - (1/88)**t) % (12*87/88) == 0



# перебираем значения t до тех пор, пока не найдется то, которое подходит

t = 1

while not is_valid(t):

    t += 1

    

print(t)

Получаем ответ: (t = 88). То есть спустя 88 минут стрелочные часы снова покажут верное время, и в этот же момент цифровые часы будут показывать 00:88 (то есть 01:28).