Для того чтобы доказать, что ABCD - ромб, нужно доказать, что все стороны ромба равны, а также что его диагонали перпендикулярны и пересекаются в их серединах. Сначала найдем длины сторон ромба ABCD: AB = sqrt((0 - 6)^2 + (6 - 6)^2 + (-3 - 9)^2) = sqrt((-6)^2 + 0^2 + (-12)^2) = sqrt(36 + 0 + 144) = sqrt(180) = 6*sqrt(5). BC = sqrt((-10 - 0)^2 + (-2 - 6)^2 + (-7 + 3)^2) = sqrt((-10)^2 + (-8)^2 + (-4)^2) = sqrt(100 + 64 + 16) = sqrt(180) = 6*sqrt(5). CD = sqrt((-4 + 10)^2 + (-2 + 2)^2 + (5 + 7)^2) = sqrt((6)^2 + 0^2 + (12)^2) = sqrt(36 + 0 + 144) = sqrt(180) = 6*sqrt(5). DA = sqrt((6 + 4)^2 + (6 + 2)^2 + (9 - 5)^2) = sqrt((10)^2 + (8)^2 + (4)^2) = sqrt(100 + 64 + 16) = sqrt(180) = 6*sqrt(5). Таким образом, AB = BC = CD = DA = 6*sqrt(5), что означает, что все стороны ромба равны. Теперь найдем координаты середин диагоналей ромба ABCD: M1 = ((0 + (-10))/2, (6 + (-2))/2, (-3 + (-7))/2) = (-5, 2, -5). M2 = ((6 + (-4))/2, (6 + (-2))/2, (9 + 5)/2) = (1, 2, 7). Для того чтобы доказать, что диагонали перпендикулярны, нужно показать, что их векторное произведение равно нулю. Векторное произведение двух векторов равно нулю, если и только если эти векторы коллинеарны. Если векторы коллинеарны, то они либо сонаправлены, либо противонаправлены. Вектор MD = D - M1 = (-4 + 5, -2 - 2, 5 + 5) = (1, -4, 10). Вектор MC = C - M2 = (-10 - 1, -2 - 2, -7 - 7) = (-11, -4, -14). Проверим, сонаправлены ли или противонаправлены вектора MD и MC, проведя их скалярное произведение: (1, -4, 10) * (-11, -4, -14) = 1*(-11) + (-4)*(-4) + 10*(-14) = -11 + 16 - 140 = -135. Так как скалярное произведение векторов MD и MC не равно нулю, это означает, что вектора не коллинеарны, а, следовательно, диагонали ромба ABCD пересекаются. Таким образом, мы доказали, что ABCD - ромб, так как все его стороны равны и диагонали перпендикулярны и пересекаются в их серединах.