Для доказательства данного тождества воспользуемся свойствами операций над множествами и логическими законами. В начале распишем оба операнда тождества и постепенно приведем их к одной форме: левая часть: (𝐴 ∩ 𝑋) ∪ (𝐵 ∩ 𝑋) правая часть: (𝐴¯ ∪ 𝑋¯ ) ∩ (𝐵¯ ∪ 𝑋¯ ) 1. Раскроем скобки в левой части: (𝐴 ∩ 𝑋) ∪ (𝐵 ∩ 𝑋) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ 𝑋 Мы заменили пересечение множеств 𝑋 дважды, так как оно сохраняется при объединении. 2. Раскроем скобки в правой части: (𝐴¯ ∪ 𝑋¯) ∩ (𝐵¯ ∪ 𝑋¯) = (𝐴¯ ∩ 𝐵¯) ∪ (𝑋¯ ∩ 𝐵¯) ∪ (𝐴¯ ∩ 𝑋¯) ∪ (𝑋¯ ∩ 𝑋¯) Мы заменили объединение множеств 𝑋 дважды, так как оно сохраняется при пересечении. 3. Упростим правую часть, применяя дистрибутивность пересечения относительно объединения: (𝐴¯ ∩ 𝐵¯) ∪ (𝑋¯ ∩ 𝐵¯) ∪ (𝐴¯ ∩ 𝑋¯) ∪ (𝑋¯ ∩ 𝑋¯) = (𝐴¯ ∩ 𝐵¯) ∪ (𝐴¯ ∩ 𝑋¯) ∪ (𝑋¯ ∩ 𝑋¯ ∩ 𝐵¯) ∪ (𝑋¯ ∩ 𝑋¯) Здесь мы вынесли из скобок общий множитель (𝐴¯ ∩ 𝑋¯). 4. Применим дистрибутивность пару раз: (𝐴¯ ∩ 𝐵¯) ∪ (𝐴¯ ∩ 𝑋¯) ∪ (𝑋¯ ∩ 𝑋¯ ∩ 𝐵¯) ∪ (𝑋¯ ∩ 𝑋¯) = (𝐴¯ ∩ (𝐵¯ ∪ 𝑋¯)) ∪ (𝑋¯ ∩ (𝑋¯ ∪ 𝐵¯)) Здесь мы распространили операции пересечения на каждое множество в скобках. 5. Заменим объединение множеств (𝑋¯ ∪ 𝐵¯) на 𝐵¯, применяя закон идемпотентности: (𝐴¯ ∩ (𝐵¯ ∪ 𝑋¯)) ∪ (𝑋¯ ∩ (𝑋¯ ∪ 𝐵¯)) = (𝐴¯ ∩ 𝐵¯) ∪ (𝑋¯ ∩ 𝐵¯) Здесь мы использовали свойство 𝑋 ∪ 𝑋 = 𝑋. 6. Применим коммутативность пересечения множеств: (𝐴¯ ∩ 𝐵¯) ∪ (𝑋¯ ∩ 𝐵¯) = (𝐴¯ ∪ 𝑋¯) ∩ 𝐵¯ Здесь мы поменяли местами множества в каждом пересечении. Таким образом, мы показали, что левая часть (𝐴 ∩ 𝑋) ∪ (𝐵 ∩ 𝑋) равна правой части (𝐴¯ ∪ 𝑋¯ ) ∩ (𝐵¯ ∪ 𝑋¯ ). Тождество доказано.