Для доказательства данного тождества воспользуемся свойствами операций над множествами. 1. Пусть элемент 𝑎 принадлежит левой части равенства ((𝐴 ∩ 𝑋) ∪ (𝐵 ∩ 𝑋)). Это значит, что элемент 𝑎 принадлежит либо множеству (𝐴 ∩ 𝑋), либо множеству (𝐵 ∩ 𝑋). 2. Предположим, что 𝑎 принадлежит множеству (𝐴 ∩ 𝑋). Это значит, что 𝑎 принадлежит и множеству 𝐴, и множеству 𝑋. С другой стороны, элементы, принадлежащие множеству 𝐴, не принадлежат множеству 𝐴¯ (дополнение множества 𝐴). Аналогично, элементы множества 𝑋 не принадлежат множеству 𝑋¯. Следовательно, элемент 𝑎 не принадлежит ни множеству (𝐴¯ ∪ 𝑋¯), ни множеству (𝐵¯ ∪ 𝑋¯). Таким образом, условие 1 не может быть выполнено, если элемент 𝑎 принадлежит множеству (𝐴 ∩ 𝑋). 3. Аналогично, рассмотрим случай, когда элемент 𝑎 принадлежит множеству (𝐵 ∩ 𝑋). Поступим аналогично предыдущему пункту и приходим к выводу, что элемент 𝑎 не принадлежит ни множеству (𝐴¯ ∪ 𝑋¯), ни множеству (𝐵¯ ∪ 𝑋¯). Следовательно, условие 1 также не может быть выполнено, если элемент 𝑎 принадлежит множеству (𝐵 ∩ 𝑋). 4. Следовательно, у нас остается только один вариант – элемент 𝑎 не принадлежит ни множеству (𝐴 ∩ 𝑋), ни множеству (𝐵 ∩ 𝑋). Это означает, что элемент 𝑎 принадлежит и множеству 𝐴¯, и множеству 𝑋¯, и множеству 𝐵¯, и множеству 𝑋¯. Таким образом, мы приходим к выводу, что элемент 𝑎 принадлежит правой части равенства ((𝐴¯ ∪ 𝑋¯ ) ∩ (𝐵¯ ∪ 𝑋¯ )). Получили, что все элементы, принадлежащие левой части равенства ((𝐴 ∩ 𝑋) ∪ (𝐵 ∩ 𝑋)), также принадлежат правой части равенства ((𝐴¯ ∪ 𝑋¯ ) ∩ (𝐵¯ ∪ 𝑋¯ )). То есть, любой элемент 𝑎 из левой части равенства также принадлежит правой части равенства. Аналогично можно показать, что все элементы, принадлежащие правой части равенства ((𝐴¯ ∪ 𝑋¯ ) ∩ (𝐵¯ ∪ 𝑋¯ )), также принадлежат левой части равенства ((𝐴 ∩ 𝑋) ∪ (𝐵 ∩ 𝑋)). Таким образом, мы доказали, что левая и правая части равенства ((𝐴 ∩ 𝑋) ∪ (𝐵 ∩ 𝑋)) = ((𝐴¯ ∪ 𝑋¯ ) ∩ (𝐵¯ ∪ 𝑋¯ )) состоят из одних и тех же элементов. Следовательно, данное тождество верно.