Используя диаграммы Эйлера-Венна:
<p>Диаграмма Эйлера-Венна позволяет наглядно представить отношение между множествами и визуализировать его. Для доказательства данного отношения, нам нужно нарисовать две диаграммы: одну для левой части отношения (A(BC)), а другую для правой части отношения ((AB)∪(B∩C)).</p>
<p>Для начала построим диаграмму для левой части отношения A(BC):</p>
<p><img src="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/50/Venn_A_BC_%28Cayley_table%29.svg/370px-Venn_A_BC_%28Cayley_table%29.svg.png" alt="Диаграмма A(BC)" /></p>
<p>В этой диаграмме у нас есть три множества: A, B и C. Часть A(BC) образуется пересечением множеств A и BC. То есть, это область, где одновременно присутствуют элементы из множества A и множества BC.</p>
<p>Теперь нарисуем диаграмму для правой части отношения ((AB)∪(B∩C)):</p>
<p><img src="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/39/Venn_AB_union_BC_%28Cayley_table%29.svg/370px-Venn_AB_union_BC_%28Cayley_table%29.svg.png" alt="Диаграмма (AB)∪(B∩C)" /></p>
<p>В этой диаграмме также у нас есть три множества: A, B и C. Часть (AB)∪(B∩C) образуется объединением множеств AB и B∩C. То есть, это область, где присутствуют элементы из множества AB или множества B∩C.</p>
<p>Видно, что диаграмма A(BC) находится внутри диаграммы (AB)∪(B∩C), поскольку все элементы множества A(BC) также присутствуют в множестве (AB)∪(B∩C). Таким образом, мы доказали, что (A(BC)) ⊂ ((AB)∪(B∩C)).</p>
Используя метод, основанный на определениях операций теории множеств:
<p>Для доказательства данного отношения, нам необходимо раскрыть скобки и привести выражения к более понятному виду.</p>
<p>Первым шагом раскроем скобки слева в A(BC):</p>
<p>A(BC) = A∩(BC)</p>
<p>Заметим, что множество BC эквивалентно операции пересечения двух множеств: B∩C. Тогда можем записать:</p>
<p>A∩(BC) = A∩(B∩C)</p>
<p>Теперь рассмотрим правую часть отношения ((AB)∪(B∩C)). Раскроем скобки с помощью соответствующих операций теории множеств:</p>
<p>((AB)∪(B∩C)) = (A∩B)∪(B∩C)</p>
<p>Теперь мы имеем две формы очевидного отношения:</p>
<p>A∩(B∩C) ⊂ (A∩B)∪(B∩C)</p>
<p>Мы знаем, что для доказательства отношения A⊂B нужно показать, что любой элемент из множества A также принадлежит множеству B. В данном случае:</p>
<p>Допустим, у нас есть элемент "x", который принадлежит A∩(B∩C). То есть, x принадлежит множеству A и одновременно принадлежит как B и C.</p>
<p>Нам нужно показать, что элемент "x" также принадлежит (A∩B)∪(B∩C).</p>
<p>Итак, рассмотрим два случая:</p>
<p>Случай 1: элемент "x" принадлежит множеству A и множеству B.</p>
<p>В таком случае, элемент "x" принадлежит и (A∩B), и (A∩B)∪(B∩C), поскольку объединение наборов, содержащих один и тот же элемент, даст тот же самый набор.</p>
<p>Случай 2: элемент "x" принадлежит множеству A и множеству C, но не принадлежит множеству B.</p>
<p>В этом случае, элемент "x" принадлежит и (B∩C), и (A∩B)∪(B∩C), поскольку (B∩C) - это часть объединения (A∩B)∪(B∩C).</p>
<p>Таким образом, в обоих случаях элемент "x" принадлежит (A∩B)∪(B∩C), а значит, мы доказали, что A∩(B∩C) ⊂ (A∩B)∪(B∩C).</p>
Эквивалентными преобразованиями:
<p>Проведем эквивалентные преобразования для доказательства отношения:</p>
<p>Вначале раскроем скобки слева в A(BC):</p>
<p>A(BC) = A∩(BC)</p>
<p>Затем раскроем скобки справа в ((AB)∪(B∩C)):</p>
<p>((AB)∪(B∩C)) = (A∩B)∪(B∩C)</p>
<p>Чтобы доказать отношение A∩(B∩C) ⊂ (A∩B)∪(B∩C), нам нужно показать, что каждый элемент множества A∩(B∩C) также принадлежит множеству (A∩B)∪(B∩C).</p>
<p>Допустим, у нас есть элемент "x", который принадлежит A∩(B∩C). То есть, x принадлежит множеству A и одновременно принадлежит как B и C.</p>
<p>Для доказательства, мы можем использовать свойства операций теории множеств, такие как ассоциативность и коммутативность пересечения и объединения множеств, а также дистрибутивность объединения относительно пересечения:</p>
<p>x∈A∩(B∩C)</p>
<p>x∈A∩(C∩B)</p>
<p>x∈(A∩C)∩B</p>
<p>x∈(B∩A)∩C</p>
<p>x∈(A∩B)∩C</p>
<p>x∈(A∩B)∪(C∩B)</p>
<p>x∈(A∩B)∪(B∩C)</p>
<p>Таким образом, каждый элемент множества A∩(B∩C) также принадлежит множеству (A∩B)∪(B∩C), что позволяет нам доказать отношение A∩(B∩C) ⊂ (A∩B)∪(B∩C).</p>
В результате, мы использовали три различных способа для доказательства отношения (A(BC)) ⊂ ((AB)∪(B∩C)).
