Эллиптическая кривая – это графическое представление уравнения вида y^2 = x^3 + ax + b, где a и b – коэффициенты, определяющие форму кривой. Это математический объект, который широко используется в криптографии и теории чисел.
Для эллиптических кривых определена операция сложения точек на кривой, которая позволяет получить новую точку, находящуюся на той же кривой. Эта операция выполняется следующим образом:
Для двух точек на кривой A и B мы находим прямую, проходящую через эти точки, и определяем точку C, где эта прямая пересекает кривую в третий раз. Затем мы берём зеркальное отражение этой точки относительно оси x, и получаем точку, которую мы обозначаем как A + B.
Для вычисления [n]P, где P – точка на эллиптической кривой, мы применяем операцию сложения точки саму с собой n раз. Например, для [2](2,5) мы сначала вычисляем 2P, а затем ещё раз применяем операцию сложения к результату.
Таким образом, для данной эллиптической кривой с параметрами 𝑝 = 7, 𝑎 = 3, 𝑏 = 6, мы можем вычислить следующие композиции точек:
[2](2,5) = (2,5) + (2,5) = (6,1)
Для вычисления (3,3) + (5,4) мы применяем операцию сложения точек. Мы строим прямую, проходящую через эти две точки:
(3,3)
|
(5,4) |
x ------x------
|
(1,4)
Прямая пересекает кривую в точке (1,4), а зеркальное отражение этой точки относительно оси x – это (1,3). Таким образом, мы можем вычислить:
(3,3) + (5,4) = (1,3)
Ответ: [2](2,5) = (6,1), (3,3) + (5,4) = (1,3).
