Даны три числа, образующих арифметическую прогрессию с некоторым числом k. Нам известны следующие равенства: a^2 = k - 46, b^2 = k + 113, c^2 = k + 290. Наша задача - найти значение k. Чтобы решить эту задачу, мы можем воспользоваться свойствами арифметической прогрессии и алгебраическими преобразованиями. Первым шагом давайте выразим a, b и c через k. Мы знаем, что a и b образуют арифметическую прогрессию, поэтому a = b - d, где d - разность прогрессии. Также мы можем записать c = b + d. Теперь мы можем подставить эти выражения в три данных нам равенства: (b - d)^2 = k - 46, b^2 = k + 113, (b + d)^2 = k + 290. Давайте развернем скобки во втором и третьем равенствах: b^2 + d^2 - 2bd = k - 46, b^2 = k + 113, b^2 + d^2 + 2bd = k + 290. Теперь мы имеем систему из трех уравнений с двумя переменными b и d. Мы можем решить эту систему, выразив одну переменную через другую и подставив полученное значение в любое из уравнений. Давайте выразим d через b из первого и третьего уравнений. Для этого вычтем первое уравнение из третьего: (b^2 + d^2 + 2bd) - (b^2 + d^2 - 2bd) = (k + 290) - (k - 46). После сокращения подобных слагаемых получаем: 4bd = 336. Теперь мы можем выразить d через b: d = 84 / b. Теперь подставим это значение в первое уравнение: (b^2) = k - 46. Теперь найдем значение b. Мы можем решить эту квадратную уравнение относительно b: b^2 = k - 46. Мы знаем, что если квадратный корень из k - 46 является целым числом, то b является целым числом. После нахождения b, мы можем выразить значение d и k: d = 84 / b, k = b^2 + 46. Таким образом, мы найдем значение k, если найдем целочисленные значения для b и d.