Нам дано неравенство 7^100 < n^n < 5^378. Нам нужно найти наименьшее и наибольшее значение n, при которых это неравенство выполняется.
Если мы рассмотрим левую часть неравенства 7^100 < n^n, то заметим, что 7^100 возрастает гораздо медленнее, чем значение n^n. Поэтому, чтобы неравенство выполнялось, значение n^n должно быть больше 7^100.
Аналогично, если мы рассмотрим правую часть неравенства n^n < 5^378, то заметим, что значение n^n возрастает гораздо быстрее, чем 5^378. Поэтому, чтобы неравенство выполнялось, значение n^n должно быть меньше 5^378.
Теперь можно решить оба неравенства по отдельности.
1. Неравенство 7^100 < n^n:
Если мы возведем 7 в степень 100, получим значению порядка 10^94. Поэтому, значение n^n должно быть больше 10^94.
2. Неравенство n^n < 5^378:
Если мы возведем 5 в степень 378, получим значению порядка 10^378. Поэтому, значение n^n должно быть меньше 10^378.
Теперь мы знаем, что n^n должно быть больше 10^94 и меньше 10^378.
Наименьшее значение, удовлетворяющее обоим условиям, это наименьшая степень числа 10, которая больше 10^94. Это 10^95.
Наибольшее значение, удовлетворяющее обоим условиям, это наибольшая степень числа 10, которая меньше 10^378. Это 10^377.
Таким образом, наименьшее и наибольшее значения, которые может принимать n, чтобы выполнялось неравенство 7^100 < n^n < 5^378, равны 10^95 и 10^377 соответственно.
