Нам дано неравенство 7100 < n^n < 5378. Нам нужно определить для каких натуральных чисел n это неравенство выполняется и найти наименьшее и наибольшее значения n. Для начала, рассмотрим неравенство 7100 < n^n. Чтобы получить наименьшее значение n, нужно найти наименьшее целое число, для которого выполняется это неравенство. Отметим, что n^n всегда будет положительным числом. Таким образом, у нас есть неравенство 7100 < n^n, где n - натуральное число. Начнем проверку с наименьшего натурального числа n = 1. Подставляем в неравенство: 7100 < 1^1. Получаем 7100 < 1. Очевидно, что это неравенство не выполняется. Проверим для n = 2. 7100 < 2^2? Нет, это неравенство также не выполняется. Продолжаем проверять все большие значения n до тех пор, пока не найдем наименьшее число, для которого неравенство выполняется. Упрощаем неравенство 5378 > n^n. Здесь мы ищем наибольшее значение n, для которого выполняется неравенство. Начнем с наибольшего значения n = 1. Подставляем в неравенство: 5378 > 1^1. Это неравенство выполняется. Проверяем для n = 2. 5378 > 2^2? Да, это неравенство выполняется. Продолжаем проверку для все больших значений n, пока не найдем наибольшее значение, для которого неравенство выполняется. Поэтапно проделаем все расчеты: Для 7100 < n^n: - n = 1: 7100 < 1^1 (неверно) - n = 2: 7100 < 2^2 (неверно) - n = 3: 7100 < 3^3 (неверно) - n = 4: 7100 < 4^4 (неверно) - n = 5: 7100 < 5^5 (неверно) - n = 6: 7100 < 6^6 (неверно) - n = 7: 7100 < 7^7 (неверно) - n = 8: 7100 < 8^8 (неверно) - n = 9: 7100 < 9^9 (неверно) - n = 10: 7100 < 10^10 (неверно) - n = 11: 7100 < 11^11 (верно) Таким образом, наименьшим значением n, для которого выполняется неравенство 7100 < n^n, является n = 11. Для 5378 > n^n: - n = 1: 5378 > 1^1 (верно) - n = 2: 5378 > 2^2 (верно) - n = 3: 5378 > 3^3 (верно) - n = 4: 5378 > 4^4 (верно) - n = 5: 5378 > 5^5 (верно) - n = 6: 5378 > 6^6 (верно) - n = 7: 5378 > 7^7 (верно) - n = 8: 5378 > 8^8 (неверно) - n = 9: 5378 > 9^9 (неверно) - n = 10: 5378 > 10^10 (неверно) Наибольшим значением n, для которого выполняется неравенство 5378 > n^n, является n = 7. Таким образом, наименьшее значение n, которое можно найти из данного неравенства, равно 11, а наибольшее значение равно 7.