Для решения данной задачи, нам нужно определить наименьшее и наибольшее значение натурального числа 𝑛, при котором выполняется неравенство 4195 < 𝑛𝑛 < 6645. Поскольку числа 𝑛𝑛 представляют собой двузначное или трехзначное число, то нам нужно выразить их в виде алгебраического выражения. Пусть 𝑛 = 10𝑎 + 𝑏, где 𝑎 и 𝑏 – натуральные числа. Тогда 𝑛𝑛 = (10𝑎 + 𝑏)(10𝑎 + 𝑏) = 100𝑎^2 + 20𝑎𝑏 + 𝑏^2. Подставим полученное выражение в неравенство: 4195 < 100𝑎^2 + 20𝑎𝑏 + 𝑏^2 < 6645. 37 < 10𝑎^2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏^2 < 54. Теперь мы можем рассмотреть два случая: 1. Первое число 𝑛 будет двузначным, т.е. 10 ≤ 𝑏 ≤ 9. 2. Первое число 𝑛 будет трехзначным, т.е. 100 ≤ 10𝑎 + 𝑏 ≤ 999. Рассмотрим случай двузначного числа. 1. Предположим, что 𝑏 = 10. Тогда неравенство принимает вид: 37 < 100𝑎^2 + 20𝑎 * 10 + 100 < 54. 37 < 100𝑎^2 + 200𝑎 + 100 < 54. 0 < 100𝑎^2 + 200𝑎 + 63 < 0. Уравнение не имеет решений, так как квадратное уравнение вида 𝑎^2 + 2𝑎 + 63 = 0 не имеет действительных корней. 2. Предположим, что 𝑏 = 11. Тогда неравенство принимает вид: 37 < 100𝑎^2 + 20𝑎 * 11 + 121 < 54. 37 < 100𝑎^2 + 220𝑎 + 121 < 54. 0 < 100𝑎^2 + 220𝑎 − 63 < 0. Решим квадратное уравнение 100𝑎^2 + 220𝑎 − 63 = 0: Дискриминант = 𝑏^2 − 4𝑎𝑐 = 220^2 − 4 * 100 * (−63) = 48400 + 25200 = 73600. Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два действительных корня: 𝑎1 = (−220 + √73600)/(2 * 100) ≈ 0.723, 𝑎2 = (−220 − √73600)/(2 * 100) ≈ −3.473. Поскольку 𝑎 – натуральное число, то можно сделать вывод, что 𝑎 = 1. Подставим это значение в неравенство и найдем значение числа 𝑛: 𝑛 = 10𝑎 + 𝑏 = 10 * 1 + 11 = 21. Таким образом, в случае двузначного числа 𝑛 имеем 𝑛 = 21. Рассмотрим случай трехзначного числа. Предположим, что 10𝑎 + 𝑏 = 100. Тогда неравенство принимает вид: 37 < 10000𝑎^2 + 2000𝑎 + 100 + 100𝑏 + 𝑏^2 < 54. 37 < 100𝑎^2 + 10000𝑎 + 100 + 𝑏(2000 + 100𝑏) < 54. 0 < 100𝑏^2 + (2000 + 10000)𝑎 + 100 + 63 < 0. 0 < 100𝑏^2 + 12000𝑎 + 163 < 0. Уравнение не имеет решений, так как значения переменных 𝑎 и 𝑏 не могут привести к отрицательному дискриминанту. Таким образом, наименьшее и наибольшее значения для числа 𝑛, при которых выполняется неравенство 4195 < 𝑛𝑛 < 6645, равны 21 и 𝑛=21 соответственно.