Пусть M - середина отрезка AB, а N - середина отрезка AD. Тогда в треугольнике AMP и треугольнике BNP углы AMP и BNP равны, так как MP=NP по построению, а угол AMX равен углу BNX, так как аналогичные стороны перпендикуляров перпендикуляры к одной стороне параллелограмма. Также, так как MN || AB, и M - середина AB, а N - середина AD, то MN делит параллелограмм на два равных треугольника. То есть AMN=BAX=ABX=BNX=BPD. В свою очередь, BPD = DPC, так как эти углы - соответственные. Итак, мы имеем: 1) AMN = BPD = DPC 2) AMP = BNP 3) PN = MP 4) MN = (frac{AB}{2}) 5) AMN = AMP + MNP 6) AXP = BXP Отсюда следует, что треугольники AMN и BPD равны, так как имеют два равных угла и одну равную сторону. Следовательно, PM =DN. Теперь рассмотрим треугольники APX и CPY. Углы APX и CPY - вертикально противолежащие, поэтому они равны, а углы AXP и CYP - прямые, так как это перпендикуляры. Итого, треугольники APX и CPY равны. Теперь рассмотрим треугольники AMP и CNP. Они равны, так как две их стороны равны (AM=CN, т.к. это диагональ параллелограмма, MN = (frac{AB}{2})) и у них равны одни и те же углы AMP и CNP. (Так как BNM равен AMP (об этом говорит равенство сторон), то СNB равен CNP. Итого, треугольники AMP и CNP равны. Из равенства треугольников CNP и APX следует, что CS=AP и CP = AS. Следовательно, CP=AP=AS=BS=CS. Поскольку AS=BS, то треугольники ASB и ASC равны по стороне-стороне-стороне. Так как AX:BX = BAY:DY, тоBX*BAY = AX*DY из 2) AXM = CXN из 1) AXM = CXN Из этих равентв следует AX *BM =CX* DN или BAX*BM =CP*CN