Дано уравнение $ax^2+(a+20)x-20-2a=0$ и известно, что оно имеет два действительных корня, которые отличаются в 3 раза. Нам нужно найти все возможные значения $a$. Пусть $x_1$ и $x_2$ - корни этого уравнения, и $x_2 = 3x_1$. Тогда мы можем записать уравнение в виде: $$ax_1^2 + (a+20)x_1 - 20 - 2a = 0$$ $$a(3x_1)^2 + (a+20)(3x_1) - 20 - 2a = 0$$ $$9ax_1^2 + 3(a+20)x_1 - 20 - 2a = 0$$ $$9ax_1^2 + 3ax_1 + 60x_1 - 20 - 2a = 0$$ $$9ax_1^2 + (3a + 60)x_1 - (2a + 20) = 0$$ Теперь мы имеем квадратное уравнение вида $Ax^2 + Bx + C$ с известным условием, что его корни отличаются в 3 раза. Для таких случаев корни связаны следующим образом: $$frac{-B + sqrt{B^2 - 4AC}}{2A} = 3frac{-B - sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}$$ $$-B + sqrt{B^2 - 4AC} = -3B - 3sqrt{B^2 - 4AC}$$ $$4sqrt{B^2 - 4AC} = -2B$$ $$B^2 - 4AC = frac{1}{4}B^2$$ $$3B^2 - 16AC = 0$$ Теперь мы можем применить это условие к нашему уравнению: $$3(3a+60)^2 - 16(2a+20) = 0$$ $$3(9a^2 + 360a + 3600) - 32a - 320 = 0$$ $$27a^2 + 1080a + 10800 - 32a - 320 = 0$$ $$27a^2 + 1048a + 10480 = 0$$ $$a^2 + frac{1048}{27}a + frac{10480}{27} = 0$$ Необходимо найти значения $a$ для которых это квадратное уравнение имеет решения. Для этого рассмотрим дискриминант этого уравнения: $$D = left(frac{1048}{27}right)^2 - 4cdot 1 cdot frac{10480}{27}$$ $$D = frac{1092704}{729} - frac{41840}{27}$$ $$D = frac{19078704}{729} - frac{41840}{27}$$ $$D = frac{19078704}{729} - frac{145760}{27}$$ $$D = frac{26224}{729}$$ Так как $D > 0$, у уравнения есть два действительных решения. Следовательно, уравнение $a^2 + frac{1048}{27}a + frac{10480}{27} = 0$ имеет два решения. Теперь найдем эти решения с помощью квадратного уравнения: $$a = frac{-frac{1048}{27} pm sqrt{frac{26224}{729}}}{2}$$ $$a = -frac{1048}{54} pm frac{sqrt{26224}}{54}$$ $$a = -frac{26}{27} pm frac{sqrt{26224}}{54}$$ Подставим $a$ в исходное уравнение и вычислим значение $x_1$ и $x_2$. Приблизительное значение $sqrt{26224} approx 161.9$. 1. $a = -frac{26}{27} + frac{161.9}{54} approx 2.370$ $$2.370x_1^2 + 22.370x_1 - 22.370 = 0$$ $$x_1 = frac{-22.370 + sqrt{22.370^2 - 4 cdot 2.370 cdot (-22.370)}}{2 cdot 2.370}$$ $$x_1 approx -0.994$$ $$x_2 = 3x_1 approx -2.983$$ 2. $a = -frac{26}{27} - frac{161.9}{54} approx -3.176$ $$-3.176x_1^2 - 23.176x_1 + 23.176 = 0$$ $$x_1 = frac{-23.176 + sqrt{23.176^2 - 4 cdot (-3.176) cdot 23.176}}{2 cdot (-3.176)}$$ $$x_1 approx -0.977$$ $$x_2 = 3x_1 approx -2.931$$ Ответ: возможные значения для $a$ это $2.370$ и $-3.176$.