Чтобы решить данную задачу, мы должны рассмотреть уравнение заданное в условии и найти все возможные значения переменной a.
Итак, у нас есть уравнение вида:
ax^2 + (a-20)x + (20-2a) = 0
Если уравнение имеет два действительных корня, отличающихся в 3 раза, это означает, что дискриминант (D) должен быть больше нуля.
Дискриминант можно найти по формуле: D = (b^2) - 4ac, где a, b и c - это коэффициенты из нашего уравнения (a^2x^2 + bx + c = 0).
В нашем случае, a = a, b = (a-20) и c = (20-2a).
Подставим значения a, b и c в формулу для дискриминанта:
D = ((a-20)^2) - 4a(20-2a)
Раскроем скобки и упростим выражение:
D = (a^2 - 40a + 400) - (80a - 8a^2)
D = -7a^2 + 120a + 400
Нам нужно найти все значения переменной a, при которых D > 0.
После равенства D нам будет нужно решить неравенство, чтобы найти диапазон значений переменной a.
-7a^2 + 120a + 400 > 0
Для упрощения решения неравенства нам нужно разделить его на множитель -7:
a^2 - 17.14a - 57.14 < 0
Сейчас у нас есть квадратное неравенство вида ax^2 + bx + c < 0. Чтобы его решить, нам нужно построить график функции с уравнением y = ax^2 + bx + c и найти интервалы, на которых функция отрицательна.
Высчитаем корни этого уравнения:
a = 1, b = -17.14, c = -57.14
x = (-b +/- sqrt(b^2 - 4ac)) / 2a
x = (-(-17.14) +/- sqrt((-17.14)^2 - 4(1)(-57.14))) / 2(1)
x = (17.14 +/- sqrt(294.0196 + 228.56)) / 2
x = (17.14 +/- sqrt(522.5796)) / 2
x = (17.14 +/- 22.8693) / 2
Первый корень:
x = (17.14 + 22.8693) / 2
x = 39.0093 / 2
x ≈ 19.5047
Второй корень:
x = (17.14 - 22.8693) / 2
x = -5.7293 / 2
x ≈ -2.8646
Таким образом, у нас есть два корня: x1 ≈ 19.5047 и x2 ≈ -2.8646.
Теперь мы можем построить график функции y = ax^2 - 17.14x - 57.14, чтобы найти интервалы, на которых функция отрицательна.
Чтобы построить график, сначала найдем вершину параболы. Формула для нахождения координат вершины параболы -x = -b / (2a).
x = -(-17.14) / (2(1))
x = 17.14 / 2
x = 8.57
Теперь найдем значение y в этой точке, подставив x = 8.57 в уравнение y = ax^2 - 17.14x - 57.14.
y = (1)(8.57^2) - (17.14)(8.57) - 57.14
y = 73.2449 - 147.5638 - 57.14
y ≈ -131.4589
Таким образом, вершина параболы находится в точке (8.57, -131.4589).
Теперь построим график функции y = ax^2 - 17.14x - 57.14, зная, что у нас есть два корня (x1 ≈ 19.5047 и x2 ≈ -2.8646) и вершина параболы (8.57, -131.4589).
----------------------------------
Вставить график параболы с корнями и вершиной, показывая интервалы, на которых функция отрицательна.
----------------------------------
Исходя из графика, мы видим, что функция отрицательна в двух интервалах:
1) От -∞ до приблизительно -2.8646. В этом интервале функция убывает.
2) От приблизительно 19.5047 до +∞. В этом интервале функция возрастает.
Теперь мы можем определить диапазон значений переменной a, при которых D > 0 и уравнение имеет два действительных корня, отличающихся в 3 раза.
Согласно графику, наше уравнение будет иметь два действительных корня, отличающихся в 3 раза, только если a находится в интервале:
(-∞, -2.8646) U (19.5047, +∞)
Таким образом, возможные значения переменной a являются любыми значениями, которые попадают в этот диапазон.
