Дано квадратное уравнение вида $ax^2+(a-10)x+10-2a=0$, где $a$ - действительное число. Необходимо найти все возможные значения $a$, при которых указанное уравнение имеет два действительных корня, отличающихся в 3 раза. Решим данную задачу поэтапно. Шаг 1: Найдем дискриминант уравнения. Дискриминант квадратного уравнения равен $D = b^2 - 4ac$, где $b$ - коэффициент при $x$, $a$ - коэффициент при $x^2$, $c$ - свободный член. В данном случае $b = a - 10$, $a = a$, $c = 10 - 2a$. Подставим значения в формулу для дискриминанта: $D = (a - 10)^2 - 4a(10 - 2a)$. Шаг 2: Рассмотрим случаи значений дискриминанта. 1) Если $D > 0$, то уравнение имеет два различных действительных корня. 2) Если $D = 0$, то уравнение имеет один действительный корень. 3) Если $D < 0$, то уравнение не имеет действительных корней. Шаг 3: Раскроем скобки и упростим выражение для дискриминанта. $D = a^2 - 20a + 100 - 40a + 8a^2 = 9a^2 - 60a + 100$. Шаг 4: Решим неравенство $D > 0$. $9a^2 - 60a + 100 > 0$. Для решения данного неравенства воспользуемся методом интервалов: 1) Найдем корни уравнения $9a^2 - 60a + 100 = 0$. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$. $D = (-60)^2 - 4(9)(100) = 3600 - 3600 = 0$. Так как дискриминант равен нулю, то у уравнения будет один вещественный корень. 2) Найденный корень $a = dfrac{-b}{2a} = dfrac{-(-60)}{2(9)} = dfrac{60}{18} = dfrac{10}{3}$. 3) Используем полученный корень, чтобы разбить область чисел на три интервала. Они получаются следующими: $(-infty, dfrac{10}{3})$, $(dfrac{10}{3}, dfrac{10}{3})$, $(dfrac{10}{3}, +infty)$. 4) Подставим в интервалы числа из этих интервалов в неравенство $9a^2 - 60a + 100 > 0$. Для первого интервала, например, возьмем число $0$. Получается неравенство $9(0)^2 - 60(0) + 100 > 0$, которое верно, так как оно равно $100 > 0$. Для второго и третьего интервала неравенство также можно применить. Итак, решением неравенства $9a^2 - 60a + 100 > 0$ является весь множитель действительных чисел. Шаг 5: Подставим получившийся дискриминант в исходное уравнение и найдем значения $a$, при которых имеются два различных действительных корня. $D = 9a^2 - 60a + 100$. Исходное уравнение имеет два различных действительных корня, если и только если дискриминант $D$ больше нуля. Шаг 6: Найдем значения $a$, при которых $D > 0$. Используем решение неравенства $D > 0$, полученное на шаге 4. Решение неравенства $D > 0$ - это все действительные числа. Таким образом, все значения $a$ удовлетворяют условию задачи. Ответ: любое действительное число может быть равно $a$.