Для решения данной задачи воспользуемся свойствами арифметической прогрессии.
Арифметическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой разность между любыми двумя соседними членами постоянна. Обозначим эту разность как d.
В данном случае у нас есть девять чисел: a1, a2, ..., a9. По условию, они образуют арифметическую прогрессию. Значит, есть некоторое число d, такое что:
a2 = a1 + d,
a3 = a2 + d,
...
a9 = a8 + d.
Также по условию задачи известно, что a9 в 3 раза больше среднего арифметического этих девяти чисел.
Среднее арифметическое в данном случае можно найти, сложив все числа и разделив результат на их количество:
среднее арифметическое = (a1 + a2 + a3 + ... + a9) / 9.
Теперь мы можем записать данное условие в виде уравнения:
a9 = 3 * ((a1 + a2 + a3 + ... + a9) / 9).
По условию задачи также известно, что a4 = 9. Это означает, что a1 + 3d = 9.
У нас теперь есть два уравнения:
1. a9 = 3 * ((a1 + a2 + a3 + ... + a9) / 9),
2. a1 + 3d = 9.
Для решения этой системы уравнений можем использовать метод подстановок или метод приведения к одной переменной.
Продолжим решение, используя метод подстановок.
Из уравнения a9 = 3 * ((a1 + a2 + a3 + ... + a9) / 9) можем выразить a9:
a9 = (3/9) * (a1 + a2 + a3 + ... + a9).
Подставим это выражение в уравнение a1 + 3d = 9:
a1 + 3d = 9,
a1 + 3d = 3/9 * (a1 + a2 + a3 + ... + a9).
Умножим оба уравнения на 9:
9a1 + 27d = 81,
9a1 + 27d = 3(a1 + a2 + a3 + ... + a9).
Так как у нас есть арифметическая прогрессия, то сумма последовательности (a1 + a2 + a3 + ... + a9) можно выразить через первый и последний элементы с помощью суммы арифметической прогрессии:
(a1 + a2 + a3 + ... + a9) = 9/2 * (a1 + a9).
Подставим это в уравнение:
9a1 + 27d = 3(a1 + a2 + a3 + ... + a9),
9a1 + 27d = 3 * 9/2 * (a1 + a9).
Сократим коэффициенты и уравняем выражения:
9a1 + 27d = 27/2 * (a1 + a9).
Теперь у нас есть два уравнения:
a1 + 3d = 9,
9a1 + 27d = 27/2 * (a1 + a9).
Можем решить эту систему уравнений методом подстановок.
Разрешим первое уравнение относительно d:
3d = 9 - a1,
d = (9 - a1)/3.
Подставим это выражение во второе уравнение:
9a1 + 27 * (9 - a1)/3 = 27/2 * (a1 + a9),
9a1 + 9 * (9 - a1) = 9/2 * (a1 + a9),
81 - 9a1 + 81 - 9 * a1 = 9/2 * (a1 + a9),
162 - 9a1 - 18 * a1 = 9/2 * (a1 + a9),
162 - 27a1 = 9/2 * (a1 + a9),
324 - 54a1 = 9 * (a1 + a9),
36 - 6a1 = a1 + a9,
36 - 7a1 = a9.
Подставим это выражение в условие a4 = 9:
a4 = a1 + 3d = 9,
9 = a1 + 3 * (9 - a1)/3,
9 = a1 + 9 - a1,
9 = 9.
Получили, что левая и правая части равны, что значит, что наше решение верно.
Теперь найдем a1:
36 - 7a1 = a9,
36 - 7a1 = a1 + 3d,
36 - 7a1 = a1 + 3 * (9 - a1)/3,
36 - 7a1 = a1 + 9 - a1,
36 - 7a1 = 9,
-7a1 = 9 - 36,
-7a1 = -27,
a1 = -27 / -7,
a1 = 27/7.
Таким образом, первый член арифметической прогрессии равен 27/7.
