Дано, что последовательность a1, a2, ..., a9 образует арифметическую прогрессию. Для арифметической прогрессии с известными a1 и d (разность прогрессии) можно найти любой элемент an по формуле: an = a1 + (n-1)d, где n - номер элемента в последовательности. Также известно, что a9 в 3 раза больше среднего арифметического этих девяти чисел. Среднее арифметическое вычисляется по формуле: среднее = (a1 + a9) / 2. Из задачи известно, что a4 = 9. Из формулы для an, подставим n = 4: a4 = a1 + (4-1)d, 9 = a1 + 3d. Теперь найдем a9 и среднее по формулам: a9 = a1 + (9-1)d, среднее = (a1 + a9) / 2. Из задачи известно, что a9 в 3 раза больше среднего: a9 = 3 * среднее. Подставим в формулу для a9 значение среднего: 3 * среднее = a1 + (9-1)d. Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными a1 и d. Решим систему уравнений. Система уравнений: 1) 9 = a1 + 3d, 2) 3 * среднее = a1 + (9-1)d. Для решения системы уравнений подставим во второе уравнение значение среднего: 3 * ((a1 + a9) / 2) = a1 + (9-1)d. Разложим уравнение: 3 * ((a1 + (a1 + (9-1)d)) / 2) = a1 + (9-1)d. Заменим a9 на 3 * среднее: 3 * ((a1 + (3 * среднее)) / 2) = a1 + 8d. Раскроем скобки и упростим уравнение: (3 * a1 + 3 * (3 * среднее) ) / 2 = a1 + 8d. Сократим общие множители: 3 * a1 + 9 * среднее = 2 * a1 + 16d. Перенесем все слагаемые на одну сторону: 3 * a1 - 2 * a1 + 16d - 9 * среднее = 0. Упростим выражение: a1 + 16d - 9 * среднее = 0. Теперь подставим значение среднего и разрешим уравнение: a1 + 16d - 9 * ((a1 + a9) / 2) = 0. Раскроем скобки: a1 + 16d - 9 * ((a1 + (a1 + (9-1)d)) / 2) = 0. Упростим выражение: a1 + 16d - 9 * ((2 * a1 + 9d) / 2) = 0. Сократим общие множители: a1 + 16d - 9 * (2a1 + 9d) = 0. Раскроем скобки: a1 + 16d - 18a1 - 81d = 0. Сгруппируем слагаемые с неизвестными и с константами: (a1 - 18a1) + (16d - 81d) = 0. Вынесем общие множители: -17a1 - 65d = 0. Разделим обе части уравнения на -1: 17a1 + 65d = 0. Выразим a1 через d: a1 = -65d / 17. Теперь воспользуемся уравнением a4 = 9, чтобы найти значение d. Подставим в формулу для a4 найденное значение a1: 9 = a1 + 3d, 9 = (-65d / 17) + 3d. Упростим выражение: 9 = (-65d + 51d) / 17. Сложим слагаемые с переменными: 9 = -14d / 17. Умножим обе части уравнения на 17 и разделим на -14: 9 * 17 / -14 = d. Распишем деление: d = -18 / 2. Упростим выражение: d = -9. Теперь найдем значение a1, подставив найденное значение d в уравнение a1 = -65d / 17: a1 = (-65 * (-9)) / 17. Раскроем скобки и упростим выражение: a1 = 585 / 17. Таким образом, получаем решение задачи: a1 = 585 / 17, d = -9. Таким образом, первый член последовательности равен 585/17, а разность прогрессии равна -9.