Дано, что последовательность чисел a1, a2, ..., a9 образует арифметическую прогрессию.
По определению арифметической прогрессии, каждый следующий элемент последовательности получается путем прибавления к предыдущему элементу одного и того же постоянного числа d, которое называется разностью прогрессии.
То есть, для данной последовательности:
a2 = a1 + d
a3 = a2 + d = a1 + d + d = a1 + 2d
a4 = a3 + d = a1 + 2d + d = a1 + 3d
...
Известно, что a9 в 3 раза больше среднего арифметического этих девяти чисел.
Среднее арифметическое чисел a1, a2, ..., a9 равно:
(a1 + a2 + ... + a9) / 9
Из условия задачи:
a9 = 3 * ((a1 + a2 + ... + a9) / 9)
Упростим это выражение:
9a9 = 3(a1 + a2 + ... + a9)
9a9 = 3a1 + 3a2 + ... + 3a9
Так как все числа образуют арифметическую прогрессию, то мы можем заменить каждый элемент s1, s2, ..., s9 на a1, a2, ..., a9.
Тогда:
9a9 = 3(a1 + (a1 + d) + ... + (a1 + 8d))
9a9 = 3(9a1 + 3d + 6d + ... + 24d)
9a9 = 3(9a1 + d(3 + 6 + ... + 24))
9a9 = 3(9a1 + d * (3 + 6 + ... + 24))
Обратим внимание на сумму чисел 3, 6, ..., 24. Это арифметическая прогрессия, где первый элемент равен 3, последний элемент равен 24, и разность прогрессии равна 3. Найдем количество элементов в этой прогрессии с помощью формулы для суммы арифметической прогрессии:
Sn = (n/2)(a1 + an)
где Sn - сумма прогрессии, n - количество элементов, a1 - первый элемент, an - последний элемент
24 = (n/2)(3 + 24)
24 = (n/2)(27)
48 = 27n
n = 48/27
n = 1.7778
Так как количество элементов должно быть целым числом, округлим n вниз до 1. Получаем, что в прогрессии 3, 6, ..., 24 всего 1 элемент.
Тогда сумма этой прогрессии равна 3.
Из этого следует, что 3 + 6 + ... + 24 = 3.
Подставим это значение обратно в уравнение:
9a9 = 3(9a1 + d * 3)
9a9 = 3(9a1 + 3d)
Разделим обе части уравнения на 3:
3a9 = 9a1 + 3d
Так как a9 = a4 + 5d (так как каждый элемент получается путем прибавления разности d), то:
3(a4 + 5d) = 9a1 + 3d
Раскроем скобки:
3a4 + 15d = 9a1 + 3d
Учитывая, что a4 = 7:
3 * 7 + 15d = 9a1 + 3d
21 + 15d = 9a1 + 3d
Вычтем 15d и 9a1 с обеих сторон уравнения:
21 = 6a1
Разделим обе части уравнения на 6:
a1 = 21/6
a1 = 3.5
Ответ: a1 = 3.5
