Пусть в прямоугольнике 3×11 отмечены k клеток. Если отмечена только одна клетка, то уголков вокруг нее не будет, поэтому она не подходит под условие задачи. Если отмечены две клетки, то возможны следующие варианты расположения отмеченных клеток: - клетки находятся на одной стороне прямоугольника; - клетки находятся на противоположных сторонах прямоугольника; - клетки находятся на разных сторонах прямоугольника, не противоположных друг другу. Рассмотрим каждый случай отдельно: 1. Клетки находятся на одной стороне прямоугольника. Пусть первая клетка находится в левом верхнем углу прямоугольника. Тогда количество вариантов выбора второй клетки равно 10 (10 клеток осталось). После выбора второй клетки в прямоугольнике останется только 1 клетка, которая не должна быть отмечена, так как трехклеточный уголок не может покрывать только одну отмеченную клетку. Значит, в этом случае будет отмечено не менее 2 клеток. 2. Клетки находятся на противоположных сторонах прямоугольника. Пусть первая клетка находится в левом верхнем углу, а вторая - в правом нижнем углу. Тогда в прямоугольнике останутся только 9 клеток, и все они должны быть отмечены, так как в противном случае уголок не будет покрывать хотя бы 2 отмеченные клетки. 3. Клетки находятся на разных сторонах прямоугольника, не противоположных друг другу. Пусть первая клетка находится в левом верхнем углу, а вторая - в правом верхнем углу. Тогда количество вариантов выбора третьей клетки равно 9 (осталось 9 клеток на прямоугольнике). В этом случае также будет отмечено не менее 2 клеток. Таким образом, наименьшее количество отмеченных клеток в прямоугольнике 3×11 будет равно 2.