Для решения данной задачи, прежде всего, нужно понять, какие уголки считаются "трёхклеточными".
Трёхклеточный уголок - это уголок, образованный тремя клетками, расположенными в одной вертикали или одной горизонтали. Например, такой уголок может быть:
|_ |_|_|
|_|_|_|
|_ |_| |
Теперь определимся с терминами. В условии сказано, что любой трёхклеточный уголок покрывает хотя бы 2 отмеченные клетки, то есть обязательно должны быть отмечены две из трех клеток уголка. В противном случае, если только одна или ни одной клетки уголка отмечены, то уголок не соответствует условию.
Также в условии задачи сказано, что дан клетчатый прямоугольник 3x11, на котором отмечены некоторые клетки.
Последнее замечание означает, что некоторые клетки можно не отмечать, так как они не будут использоваться в трёхклеточных уголках и не влияют на минимальное количество отмеченных клеток, которое мы должны найти.
Итак, пусть отмечены только одна или две клетки внутри прямоугольника. Пронумеруем эти клетки следующим образом:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|__|
|_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|__|
|_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|__|
Если внутри прямоугольника отмечены только первая и вторая клетка, то тройки стоят горизонтально и вертикально, и их 18 штук. Если отмечены первая и третья клетка, то тройки стоят только вертикально и их 16 штук. Если отмечены первая и четвертая клетка, то таких троек может быть 15, но число треугольников уменьшилось на 1 по сравнению с предыдущим случаем. Аналогично с четвертой и седьмой клеткой и т. д. Выходит, что при отмеченных 1 и n клетках число троек равно 18 - (n - 1) = 19 - n.
Если отмечены первая и пятая клетка, то может получиться 14 троек, число которых уменьшается на 2 по сравнению с предыдущим случаем. Аналогично с пятой и девятой клеткой и т. д. Выходит, что при отмеченных 1 и (4 * n - 3) клетках, число троек равно 14 - 2 * (n - 1) = 15 - 2n.
Если отмечены первая и шестая клетка, то может получиться 13 троек, число которых уменьшается на 3 по сравнению с предыдущим случаем. Аналогично с шестой и десятой клеткой и т. д. Выходит, что при отмеченных 1 и (4 * n - 2) клетках число троек равно 13 - 3 * (n - 1) = 14 - 3n.
И, наконец, последний случай, когда отмечены первая и одиннадцатая клетки. Получается 12 троек, число которых уменьшается на 4 по сравнению с предыдущим случаем. Выходит, что при отмеченных 1 и (4 * n - 1) клетках число троек равно 12 - 4 * (n - 1) = 13 - 4n.
Таким образом, общее число троек с отмеченными первой и n-ой клетками можно определить по формуле:
19 - n, если n = 1;
15 - 2n, если n = 2;
14 - 3n, если n = 3;
13 - 4n, если n = 4 и так далее.
Нам необходимо найти такое n, при котором количество отмеченных клеток будет минимальным. Для этого просто проверим каждое значение n и выберем минимальное.
Таким образом, минимальное количество отмеченных клеток в прямоугольнике 3x11, при условии, что каждый трёхклеточный уголок покрывает как минимум 2 отмеченные клетки, будет следующим:
для n = 1: 19 - 1 = 18;
для n = 2: 15 - 2 * 2 = 11;
для n = 3: 14 - 3 * 3 = 5;
для n = 4: 13 - 4 * 4 = 1.
Таким образом, наименьшее количество отмеченных клеток равно 1.
