Для решения данной задачи необходимо найти прибыль монополии при разных объёмах продаж и ценах. Прибыль монополии вычисляется как разность между выручкой и издержками: П = TR - TC где П - прибыль, TR - общая выручка, TC - общие издержки. Общая выручка равна произведению цены на объём продаж: TR = P * Q Издержки монополии равны сумме постоянных издержек (FC) и переменных издержек (VC): TC = FC + VC Общие издержки можно найти, подставив функцию издержек монополии вместо TC: TC = ½ Q² - 10Q + 15 Общие переменные издержки равны сумме переменных издержек на каждом рынке: VC = VC(1) + VC(2) где VC(1) и VC(2) - переменные издержки на первом и втором рынках соответственно. При первом условии задачи, когда применяется ценовая дискриминация, монополист может устанавливать разные цены на каждом рынке. Значит, мы должны максимизировать прибыль монополии на каждом рынке независимо от другого рынка. На первом рынке объём продаж можно найти, подставив функцию спроса на первый рынок вместо Q(1): Q(1) = 100 - 4P(1) Для максимизации прибыли монополии необходимо найти цену, при которой выручка будет максимальной. Это можно сделать, найдя цену, при которой производная выручки по цене равна нулю: d(TR)/d(P(1)) = 0 Рассчитываем эту производную: d(TR)/d(P(1)) = Q(1) + P(1) * d(Q(1))/d(P(1)) Подставляем выражение Q(1): d(TR)/d(P(1)) = 100 - 4P(1) + P(1) * (-4) = 100 - 8P(1) Приравниваем производную к нулю и находим цену: 100 - 8P(1) = 0 8P(1) = 100 P(1) = 12.5 Теперь, найдя цену, мы можем найти объём продаж на первом рынке: Q(1) = 100 - 4P(1) Q(1) = 100 - 4(12.5) Q(1) = 100 - 50 Q(1) = 50 Таким образом, максимальный объём продаж на первом рынке при ценовой дискриминации равен 50, а цена равна 12,5. Аналогично можно рассчитать объём продаж и цену на втором рынке: Q(2) = 100 - 2P(2) d(TR)/d(P(2)) = 100 - 2P(2) + P(2) * (-2) = 100 - 4P(2) 100 - 4P(2) = 0 4P(2) = 100 P(2) = 25 Q(2) = 100 - 2P(2) Q(2) = 100 - 2(25) Q(2) = 100 - 50 Q(2) = 50 Таким образом, максимальный объём продаж на втором рынке при ценовой дискриминации равен 50, а цена равна 25. Итак, при ценовой дискриминации объёмы продаж и цены на первом и втором рынках равны: Q(1) = 50, P(1) = 12,5 (цены на первом рынке) Q(2) = 50, P(2) = 25 (цены на втором рынке) Теперь рассмотрим второе условие задачи, когда ценовая дискриминация запрещена государством. В этом случае монополист должен устанавливать одну цену на обоих рынках. Максимизация прибыли монополии происходит по тем же принципам, но теперь у нас есть только одна функция спроса: Q = Q(1) + Q(2) = (100 - 4P(1)) + (100 - 2P(2)) TR = P * Q = P * [(100 - 4P(1)) + (100 - 2P(2))] d(TR)/d(P) = 0 Подставляем выражение для TR: d(TR)/d(P) = [(100 - 4P(1)) + (100 - 2P(2))] + P * [(-4) * d(P(1))/d(P) + (-2) * d(P(2))/d(P)] = 0 Раскрываем скобки и уравнение приобретает следующий вид: 200 - 4P(1) - 2P(2) - 4P + 4P(1) + 2P(2) = 0 200 - 4P - 2P = 0 200 - 6P = 0 6P = 200 P = 200/6 P ≈ 33.33 Теперь можем найти объём продаж на каждом рынке: Q(1) = 100 - 4P(1) = 100 - 4 * 33.33 ≈ 100 - 133.32 ≈ -33.32 (это отрицательное значение не имеет физического смысла, поэтому продажи на первом рынке равны 0) Q(2) = 100 - 2P(2) = 100 - 2 * 33.33 ≈ 100 - 66.66 ≈ 33.32 (это уже положительное значение имеет смысл) Таким образом, при запрете ценовой дискриминации объём продаж на первом рынке равен 0, а на втором рынке равен приблизительно 33.32. Однако, цена может быть рассчитана исходя из общего объёма продаж: Q = Q(1) + Q(2) = 0 + 33.32 = 33.32 P = (200 - 6Q)/6 = (200 - 6 * 33.32)/6 ≈ (200 - 199.92)/6 ≈ 0.08/6 ≈ 0.013 Таким образом, цена на обоих рынках при запрете ценовой дискриминации будет равна примерно 0.013, а объём продаж на втором рынке будет равен 33.32. В итоге, при запрете ценовой дискриминации объёмы продаж и цена на каждом из двух рынков равны: Q = 33.32 P = 0.013