Дано три вектора: $$ begin{align*} p = begin{pmatrix} 3 \ 10 \ -11 end{pmatrix} \ q = begin{pmatrix} 0 \ -5 \ 11 end{pmatrix} \ r = begin{pmatrix} 1 \ 0 \ 4 end{pmatrix} end{align*} $$ И дан вектор: $$ a = begin{pmatrix} 14 \ 35 \ -25 end{pmatrix} $$ Наша задача - разложить вектор a по базису p, q, r. Пусть разложение вектора a по базису будет иметь вид: $$ a = lambda_1 cdot p + lambda_2 cdot q + lambda_3 cdot r $$ где $lambda_1, lambda_2, lambda_3$ - координаты вектора a в базисе p, q, r соответственно. То есть нам надо найти такие значения $lambda_1, lambda_2, lambda_3$, при которых выполняется данное равенство. Подставим координаты векторов в данное равенство: $$ begin{pmatrix} 14 \ 35 \ -25 end{pmatrix} = lambda_1 cdot begin{pmatrix} 3 \ 10 \ -11 end{pmatrix} + lambda_2 cdot begin{pmatrix} 0 \ -5 \ 11 end{pmatrix} + lambda_3 cdot begin{pmatrix} 1 \ 0 \ 4 end{pmatrix} $$ Произведем вычисления для каждой координаты: $$ begin{cases} 14 = 3lambda_1 + lambda_3 \ 35 = 10lambda_1 - 5lambda_2 \ -25 = -11lambda_1 + 11lambda_2 + 4lambda_3 end{cases} $$ Теперь решим данную систему уравнений: Составим расширенную матрицу из коэффициентов перед переменными: $$ begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 & 14 \ 10 & -5 & 0 & 35 \ -11 & 11 & 4 & -25 end{pmatrix} $$ Приведем матрицу к треугольному виду с помощью элементарных преобразований: 1) Домножим первую строку на $frac{1}{3}$: $$ begin{pmatrix} 1 & 0 & frac{1}{3} & frac{14}{3} \ 10 & -5 & 0 & 35 \ -11 & 11 & 4 & -25 end{pmatrix} $$ 2) Вычтем из второй строки первую, умноженную на 10: $$ begin{pmatrix} 1 & 0 & frac{1}{3} & frac{14}{3} \ 0 & -5 & -frac{10}{3} & frac{7}{3} \ -11 & 11 & 4 & -25 end{pmatrix} $$ 3) Вычтем из третьей строки первую, умноженную на -11: $$ begin{pmatrix} 1 & 0 & frac{1}{3} & frac{14}{3} \ 0 & -5 & -frac{10}{3} & frac{7}{3} \ 0 & 11 & frac{31}{3} & frac{161}{3} end{pmatrix} $$ 4) Домножим вторую строку на $-frac{1}{5}$: $$ begin{pmatrix} 1 & 0 & frac{1}{3} & frac{14}{3} \ 0 & 1 & frac{2}{3} & -frac{7}{15} \ 0 & 11 & frac{31}{3} & frac{161}{3} end{pmatrix} $$ 5) Вычтем из третьей строки вторую, умноженную на 11: $$ begin{pmatrix} 1 & 0 & frac{1}{3} & frac{14}{3} \ 0 & 1 & frac{2}{3} & -frac{7}{15} \ 0 & 0 & frac{1}{3} & frac{20}{3} end{pmatrix} $$ Теперь матрица находится в треугольном виде. Запишем полученную расширенную матрицу системы обратно в виде системы уравнений: $$ begin{cases} x + frac{1}{3}z = frac{14}{3} \ y + frac{2}{3}z = -frac{7}{15} \ frac{1}{3}z = frac{20}{3} end{cases} $$ Из третьего уравнения всего лишь только одной преобразованием получаем: $$ z = 20 $$ Подставляя назад во второе уравнение получим: $$ y + frac{2}{3} cdot 20 = -frac{7}{15} $$ $$ y = -frac{7}{15} - frac{40}{3} cdot frac{1}{3} = - frac{7}{15} - frac{40}{9} = - frac{17}{9} $$ Подставляя полученные значения $y$ и $z$ в первое уравнение, получим: $$ x + frac{1}{3} cdot 20 = frac{14}{3} $$ $$ x = frac{14}{3} - frac{20}{3} = -2 $$ Таким образом, разложение вектора $a$ по базису $p, q, r$ имеет вид: $$ begin{pmatrix} 14 \ 35 \ -25 end{pmatrix} = -2 cdot begin{pmatrix} 3 \ 10 \ -11 end{pmatrix} - frac{17}{9} cdot begin{pmatrix} 0 \ -5 \ 11 end{pmatrix} + 20 cdot begin{pmatrix} 1 \ 0 \ 4 end{pmatrix} $$ или в более краткой форме: $$ begin{pmatrix} 14 \ 35 \ -25 end{pmatrix} = begin{pmatrix} -2 \ -frac{17}{9} \ 20 end{pmatrix} cdot begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \ 10 & -5 & 0 \ -11 & 11 & 4 end{pmatrix} $$