Построим данную конструкцию и обозначим точки на рисунке. Пусть O — центр окружности ω, C — данная точка, D — точка касания окружности ω с касательной, A и B — точки пересечения окружности и секущей. Заметим, что касательная проведена из точки C. Таким образом, треугольник OCD — прямоугольный, так как касательная к окружности всегда перпендикулярна радиусу в точке касания. По условию дано, что CD = 12 и AC = 6. Тогда, если мы обозначим OD или OC через x (одна и та же величина, так как OD = OC), то получим прямоугольный треугольник OCD со сторонами 6, x и 12. Применим теорему Пифагора для этого треугольника: (OD)² = (OC)² + (CD)² x² = 6² + 12² x² = 36 + 144 x² = 180 x = √180 x = 6√5 Теперь рассмотрим треугольник BCD. Мы знаем, что BC — секущая, а CD — касательная. Так как треугольник OCD — прямоугольный, он подобен треугольнику BCD по теореме о трёх перпендикулярах. То есть, они имеют одинаковые углы, их стороны соотносятся пропорционально. Так как CD = 12, а OD = 6√5, получаем: OD/CD = BD/BC 6√5/12 = BD/BC √5/2 = BD/BC Также из прямоугольника ODAB следует, что AB = 2·CD = 2·12 = 24. Теперь мы можем использовать площадь треугольника BCD для нахождения BD и BC. Мы знаем, что площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними. Площадь треугольника BCD равна: S = (1/2) · BD · BC · sin(∠BCD) Так как OD является высотой треугольника BCD, опущенной на гипотенузу BC, мы можем записать: S = (1/2) · BD · OD Тогда: BD · OD = (1/2) · BD · BC · sin(∠BCD) Или: BD/BC = sin(∠BCD) · OD/2 Известно, что BD/BC = √5/2 и OD = 6√5. Подставим эти значения в уравнение: √5/2 = sin(∠BCD) · 6√5/2 Сократим соответствующие элементы: 1/√5 = sin(∠BCD) Из этого равенства следует, что угол ∠BCD равен 30 градусам, так как sin(30°) = 1/2. Теперь мы знаем все стороны треугольника BCD. BD/BC = √5/2, CD = 12 и BC = 24. Можем использовать формулу для площади треугольника: S = (1/2) · BC · CD · sin(∠BCD) S = (1/2) · 24 · 12 · sin(30°) S = 12 · 12 · 1/2 S = 144/2 S = 72 Таким образом, площадь треугольника BCD равна 72.