1. Длина стороны AB можно найти по формуле расстояния между двумя точками в координатной плоскости: AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2), где (x1, y1) - координаты точки A, а (x2, y2) - координаты точки B. Подставляя значения координат: AB = √((2 - (-10))^2 + (0 - 9)^2) = √(12^2 + 9^2) = √(144 + 81) = √225 = 15. Таким образом, длина стороны AB равна 15. 2. Для нахождения уравнения прямой через две точки (x1, y1) и (x2, y2) можно воспользоваться формулой: y - y1 = ((y2 - y1) / (x2 - x1)) * (x - x1). a) Уравнение стороны AB: (x, y) = (x1, y1) = (-10, 9) и (x2, y2) = (2, 0). Угловой коэффициент прямой AB: k_AB = (0 - 9) / (2 - (-10)) = -9 / 12 = -3/4. Уравнение прямой AB: y - 9 = (-3/4) * (x - (-10)), y - 9 = (-3/4)x - 30/4, y = (-3/4)x - 30/4 + 36/4, y = (-3/4)x + 6/4, y = (-3/4)x + 3/2. б) Уравнение стороны BC: (x, y) = (x1, y1) = (2, 0) и (x2, y2) = (6, 22). Угловой коэффициент прямой BC: k_BC = (22 - 0) / (6 - 2) = 22 / 4 = 11/2. Уравнение прямой BC: y - 0 = (11/2) * (x - 2), y - 0 = (11/2)x - 22/2, y = (11/2)x - 11. Таким образом, уравнение стороны AB: y = (-3/4)x + 3/2 и угловой коэффициент k_AB = -3/4, а уравнение стороны BC: y = (11/2)x - 11 и угловой коэффициент k_BC = 11/2. 3. Угол ψ между прямыми AB и BC можно найти, используя уравнения сторон AB и BC. Угол между двумя прямыми можно найти с помощью формулы: tg(ψ) = |(k_BC - k_AB) / (1 + k_AB * k_BC)|, где k_AB и k_BC - угловые коэффициенты прямых AB и BC соответственно. tg(ψ) = |((11/2) - (-3/4)) / (1 + (-3/4) * (11/2))| = |(11/2 + 3/4) / (1 - 33/8)| = |(44/8 + 6/8) / (8/8 - 33/8)| = |(50/8) / (-25/8)| = 2. Таким образом, tg(ψ) = 2. Чтобы найти угол ψ в радианах, можно использовать обратную функцию тангенса: ψ = arctg(2). 4. Чтобы найти уравнение высоты CD, нужно знать координаты противоположной вершины треугольника. Пусть С(x3, y3) - это координаты вершины C. Уравнение прямой, проходящей через точки (x1, y1) и (x2, y2), можно найти по формуле, используя угловой коэффициент k_AB: (x - x1) / (x2 - x1) = (y - y1) / (y2 - y1). a) Уравнение стороны AB: (x - (-10)) / (2 - (-10)) = (y - 9) / (0 - 9), (x + 10) / 12 = (y - 9) / (-9). (x + 10)(-9) = 12(y - 9), -9x - 90 = 12y - 108, 9x - 12y + 18 = 0. б) Уравнение стороны BC: (x - 2) / (6 - 2) = (y - 0) / (22 - 0), (x - 2) / 4 = y / 22. Воспользуемся уравнением противоположной стороны AC: (x - x3) / (-10 - x3) = (y - y3) / (9 - y3). (x - 6) / (-10 - 6) = (y - 22) / (9 - 22). (x - 6) / (-16) = (y - 22) / (-13), 13(x - 6) = 16(y - 22), 13x - 78 = 16y - 352, 13x - 16y + 274 = 0. Таким образом, уравнение высоты CD: 9x - 12y + 18 = 0 и 13x - 16y + 274 = 0. Длина высоты CD между точками А(-10, 9) и С(6, 22) равна расстоянию между двумя точками в координатной плоскости: CD = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2), где (x1, y1) - координаты точки A, а (x2, y2) - координаты точки C. Подставляя значения координат: CD = √((6 - (-10))^2 + (22 - 9)^2) = √(16^2 + 13^2) = √(256 + 169) = √425. Таким образом, длина высоты CD равна √425. 5. Чтобы найти уравнение медианы AE и координаты точки K пересечения этой медианы с высотой CD, нужно знать координаты вершины E и найти середину отрезка AE. Координаты середины отрезка между двумя точками (x1, y1) и (x2, y2) можно найти по формулам: xс = (x1 + x2) / 2 и yс = (y1 + y2) / 2, где (xс, yс) - координаты середины отрезка, (x1, y1) - координаты точки A, (x2, y2) - координаты точки E. У вершины A координаты (-10, 9). Чтобы найти координаты вершины E, нужно найти середину отрезка между вершинами B(2, 0) и C(6, 22): xс = (2 + 6) / 2 = 8 / 2 = 4 и yс = (0 + 22) / 2 = 22 / 2 = 11. Таким образом, координаты вершины E равны (4, 11). Уравнение медианы AE можно найти, используя уравнение прямой, проходящей через две точки (x1, y1) и (x2, y2): (x - x1) / (x2 - x1) = (y - y1) / (y2 - y1). a) Уравнение медианы AE: (x - (-10)) / (4 - (-10)) = (y - 9) / (11 - 9), (x + 10) / 14 = (y - 9) / 2. Умножим обе части уравнения на 14: (x + 10) = 7(y - 9), x + 10 = 7y - 63, x - 7y = -73. б) Для нахождения координат точки K пересечения медианы AE с высотой CD, решим систему уравнений уравнений медианы AE и высоты CD. Система уравнений: 9x - 12y + 18 = 0, x - 7y = -73. Решение системы можно найти методом подстановки или методом преобразования уравнений: Из второго уравнения найдем х и подставим в первое уравнение: x = 7y - 73, 9(7y - 73) - 12y + 18 = 0, 63y - 657 - 12y + 18 = 0, 51y - 639 = 0, y = 639 / 51 = 127/3. Теперь найдем х: x = 7(127/3) - 73 = 889/3 - 219/3 = 670/3. Таким образом, координаты точки K равны (670/3, 127/3). 6. Уравнение прямой L, которая проходит через точку K параллельно к стороне AB, можно найти, используя уравнение стороны AB и координаты точки K. Угловой коэффициент параллельной прямой сохраняется, поэтому угловой коэффициент прямой L равен -3/4. Используя уравнение прямой в точке K (x0, y0) и угловой коэффициент, можем найти уравнение прямой L: y - y0 = k_L * (x - x0). Подставим координаты точки K (670/3, 127/3): y - (127/3) = (-3/4)(x - 670/3), y - 127/3 = (-3/4)x + 670/4, y = (-3/4)x + 670/4 + 127/3, y = (-3/4)x + (335 + 381)/6, y = (-3/4)x + 716/6, y = (-3/4)x + 358/3. Таким образом, уравнение прямой L, проходящей через точку K, параллельной стороне AB: y = (-3/4)x + 358/3. 7. Чтобы найти координаты точки F, симметричной точке A относительно прямой CD, можно использовать формулы симметрии: x_F = 2 * x_CD - x_A и y_F = 2 * y_CD - y_A, где (x_F, y_F) - координаты точки F, (x_CD, y_CD) - координаты точки C, (x_A, y_A) - координаты точки A. Подставим значения координат: x_F = 2 * 6 - (-10) = 12 + 10 = 22 и y_F = 2 * 22 - 9 = 44 - 9 = 35. Таким образом, координаты точки F равны (22, 35).