Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом математической индукции. Пусть p - простое число, a, b, c, d, e - целые числа, такие что a^2 – b, a^3 – c, a^5 – d, b^7 – e делятся на p. База индукции: Рассмотрим случай, когда a и b меньше p. Тогда a^2 и b также меньше p. Поэтому a^2 – b будет кратно p. Также из условия известно, что a^2 – b делится на p. Таким образом, база индукции верна. Шаг индукции: Предположим, что для некоторого n число ae – d делится на p. Докажем, что для n+1 число (a+a^n)e – (ae – d) также делится на p. Вычислим (a+a^n)e – (ae – d): (a+a^n)e – (ae – d) = ae + a^n * e– ae + d = (a^n * e + d) По условию известно, что a^n * e + d делится на p. Но так как p является простым числом, и a^n * e + d делится на p, то a^n * e + d также делится на p. Таким образом, мы доказали, что для любого n число ae – d делится на p. Окончательно, мы доказали, что если числа a^2 – b, a^3 – c, a^5 – d, b^7 – e делятся на p, то число ae – d также делится на p.