Пусть дана геометрическая прогрессия с первым членом a и знаменателем q. Так как количество членов кратно 6, то общее количество членов можно представить в виде 6n, где n - некоторое натуральное число. Из условия задачи известно, что сумма всех членов прогрессии с номерами, кратными 3, равна 180. То есть, сумма членов прогрессии aq^2 + aq^5 + ... равна 180. Вынесем общий множитель a и сгруппируем члены прогрессии: a(q^2 + q^5 + ...) = 180. Заметим, что в скобках стоит бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с первым членом q^2 и знаменателем q^3. По формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии с модулем знаменателя меньше 1, сумма будет равна: sum1 = (q^2) / (1 - q^3). Аналогично поступим со второй суммой. Из условия задачи известно, что сумма всех членов прогрессии с номерами, кратными 6, равна 160. То есть, сумма членов прогрессии aq^5 + aq^11 + ... равна 160. Вынесем общий множитель a и сгруппируем члены прогрессии: a(q^5 + q^11 + ...) = 160. Заметим, что в скобках стоит бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с первым членом q^5 и знаменателем q^6. По формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии с модулем знаменателя меньше 1, сумма будет равна: sum2 = (q^5) / (1 - q^6). Чтобы найти общую сумму всех членов прогрессии, нужно сложить все члены прогрессии, которые входят в суммы sum1 и sum2. Определим номера этих членов. Чтобы найти номера членов прогрессии, кратных 3, используем формулу арифметической прогрессии: a + (n-1)*d = ak, где k - номер члена прогрессии, который мы хотим найти. В этом случае a = q^2, d = q^3, k - число, кратное 3. Подставим данные значения и решим уравнение: q^2 + (3-1)*q^3 = q^2 + 2q^3 = q^2 * (1 + 2q) = ak. Получили, что k-ый член прогрессии равен q^2 * (1 + 2q). Аналогично, чтобы найти номера членов прогрессии, кратных 6, используем формулу арифметической прогрессии: a + (n-1)*d = ak, где k - номер члена прогрессии, который мы хотим найти. В этом случае a = q^5, d = q^6, k - число, кратное 6. Подставим данные значения и решим уравнение: q^5 + (6-1)*q^6 = q^5 + 5q^6 = q^5 * (1 + 5q) = ak. Получили, что k-ый член прогрессии равен q^5 * (1 + 5q). Теперь, сложим все члены прогрессии, которые входят в sum1 и sum2 и умножим их на соответствующие числа членов для получения общей суммы: sum_all = a + ak + ... + ak(n-2) = q^2 + q^2(1 + 2q) + ... + q^2(1 + 2q)(n-2) = q^2(1 + 1 + 2q + 2q + ... + 2q^(n-3)(n-2)). Заметим, что полученная сумма - это арифметическая прогрессия с первым членом 1 и знаменателем 2q. Подставим количество членов n = 6n в формулу суммы арифметической прогрессии: sum_all = q^2(1 + 2q)(6n - 2) / 2 = q^2(1 + 2q)(6n - 2). Имеем сумму всех членов прогрессии: sum_all = 180. Также, известно, что сумма членов прогрессии, кратных 6, равна 160: sum_6 = q^5(1 + 5q)(6n - 2) / 2 = 160. Выразим q^5(1 + 5q) из последнего уравнения: q^5(1 + 5q) = 320 / (6n - 2). Теперь у нас есть два уравнения: q^2(1 + 2q)(6n - 2) = 180, q^5(1 + 5q) = 320 / (6n - 2). Разделим оба уравнения друг на друга и избавимся от n: (q^2(1 + 2q)(6n - 2)) / (q^5(1 + 5q)) = 180 / (320 / (6n - 2)). После упрощения получим: (q^2(1 + 2q)) / (q^5(1 + 5q)) = 180(6n - 2) / 320. Отсюда можно получить уравнение, в котором участвует только q: (1 + 2q) / (q^3(1 + 5q)) = 9(6n - 2) / 16. Для решения этого уравнения нужно представить числитель и знаменатель в каноническом виде и сократить общие множители: (1 + 2q) / (q^3(1 + 5q)) = (2q + 1) / (q^3(5q + 1)) = 9(6n - 2) / 16. Подставим значения n = 1, 2, 3, 4, 5 и найдем соответствующие значения q: При n = 1 получаем уравнение: (1 + 2q) / (q^3(5q + 1)) = 9(6 - 2) / 16, (1 + 2q) / (q^3(5q + 1)) = 3 / 4. Решая данное уравнение, получаем q ≈ -0.4667. Но знаменатель в геометрической прогрессии не может быть отрицательным, поэтому такое значение не подходит. При n = 2 получаем уравнение: (1 + 2q) / (q^3(5q + 1)) = 9(12 - 2) / 16, (1 + 2q) / (q^3(5q + 1)) = 90 / 16. Решая данное уравнение, получаем q ≈ -0.7778. Опять же, знаменатель в геометрической прогрессии не может быть отрицательным, поэтому такое значение не подходит. При n = 3 получаем уравнение: (1 + 2q) / (q^3(5q + 1)) = 9(18 - 2) / 16, (1 + 2q) / (q^3(5q + 1)) = 144 / 16. Решая данное уравнение, получаем q ≈ -0.8333. Это значение подходит, так как знаменатель неотрицателен. Мы нашли значение знаменателя q, теперь найдем значение первого члена прогрессии a: q^5(1 + 5q) = 320 / (6n - 2), (-0.8333)^5(1 + 5 * (-0.8333)) = 320 / (6n - 2), -0.6246 = 320 / (6n - 2). Решая это уравнение, получаем: (6n - 2) = 320 / (-0.6246), 6n = (320 / (-0.6246)) + 2. Вычислим это значение и получим n ≈ 7.89. Так как количество членов должно быть натуральным числом, округлим его вверх до ближайшего целого числа и получим n = 8. Теперь, когда у нас есть значения q ≈ -0.8333 и n = 8, мы можем найти общую сумму всех членов прогрессии. sum_all = q^2(1 + 2q)(6n - 2) = (-0.8333)^2(1 + 2 * (-0.8333))(6 * 8 - 2) = 0.6938 * 0.3334 * 44 ≈ 10.3. Таким образом, сумма всех членов прогрессии примерно равна 10.3.