Пусть первый член геометрической прогрессии (а) равен а, а знаменатель (q) равен q. Тогда второй член прогрессии будет равен а * q, третий член а * q^2, четвертый а * q^3 и так далее. Обозначим количество членов прогрессии через n. Так как количество членов кратно 6, то оно может быть представлено в виде n = 6k, где k - натуральное число. Сумма всех членов прогрессии (S) равна S = а + аq + аq^2 + аq^3 + ... + аq^(n-1). Так как прогрессия геометрическая, то сумма всех членов будет равна S = а * (1 - q^n)/(1 - q). Сумма всех членов с номерами, кратными 3, равна S1 = а + аq^3 + аq^6 + ... + аq^(n-3) = а(1 + q^3 + q^6 + ... + q^(n-3)). Сумма всех членов с номерами, кратными 6, равна S2 = а + аq^6 + аq^12 + ... + аq^(n-6) = а(1 + q^6 + q^12 + ... + q^(n-6)). Так как n = 6k, то n - 3 = 6k - 3 и n - 6 = 6k - 6. Воспользуемся формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии Sбесконечно = а/(1 - q). Тогда S1 = а(1 + q^3 + q^6 + ... + q^(6k - 3)) = а/(1 - q^3). Аналогично S2 = а(1 + q^6 + q^12 + ... + q^(6k - 6)) = а/(1 - q^6). Из условия задачи известно, что S1 = 108 и S2 = 96. Подставим эти значения в формулы: 108 = а/(1 - q^3) и 96 = а/(1 - q^6). Выразим а из первого уравнения: а = 108 * (1 - q^3). Подставим это значение во второе уравнение: 96 = 108 * (1 - q^3) / (1 - q^6). Умножим обе части уравнения на (1 - q^6) и решим полученное уравнение относительно q. 96 * (1 - q^6) = 108 * (1 - q^3). Раскроем скобки и приведем подобные члены: 96 - 96q^6 = 108 - 108q^3. Перенесем все слагаемые в одну часть и упростим: 96q^6 - 108q^3 + 12 = 0. Полученное уравнение является квадратным относительно q^3. Подставим в него переменную t = q^3 и решим это уравнение: 96t^2 - 108t + 12 = 0. Дискриминант уравнения равен D = (-108)^2 - 4 * 96 * 12 = 11664 - 4608 = 7056. Так как D > 0, то у уравнения есть два различных корня. Найдем эти корни с помощью формулы корней квадратного уравнения: t1,2 = (-b ± √D) / (2a), где a = 96, b = -108. t1 = (108 + √7056) / 192 и t2 = (108 - √7056) / 192. Легко проверить, что t1 + t2 = -b / a и t1 * t2 = c / a. Подставим значения a и b: t1 + t2 = 108 / 96 = 9/8 и t1 * t2 = 12 / 96 = 1/8. Так как корни t1 и t2 - это значения q^3, то q1 = ∛t1 и q2 = ∛t2. Найдем эти значения: q1 = ∛(9/8) и q2 = ∛(1/8). Заметим, что q1 и q2 - это числа, возведенные в степень 1/3. Так как 1/3 - рациональное число, то q1 и q2 являются рациональными числами и их значения можно найти с помощью формулы извлечения корня n-ой степени из рационального числа: q1 = (9/8)^(1/3) = ∛9/∛8 = 2/∛2 = 2 * ∛2^2 / ∛2 = 2 * ∛4 / ∛2 = 2 * 2 / ∛2 = 4/∛2 = 4∛2/2 = 2∛2. Аналогично q2 = (1/8)^(1/3) = ∛1/∛8 = 1/∛2 = ∛2/2 = ∛2^(1/3)/∛2^(2/3) = ∛2^(1/3)/(√2)^(2/3) = ∛2^(1/3)/∛2^(2/3) * √2 = (∛2/∛2) * √2 = √2. Таким образом, найдены два значения q: q1 = 2∛2 и q2 = √2. Рассмотрим эти значения отдельно. Для q = 2∛2 и а = 108 * (1 - (2∛2)^3) = 108 * (1 - 8 * ∛2^2) = 108 * (1 - 64 * 2) = 108 - 13824 = -13716, очевидно, что данное значение а не подходит, так как оно отрицательное. Для q = √2 и а = 108 * (1 - (√2)^3) = 108 * (1 - 8 * √2) = 108 * (1 - 8√2) = 108 - 864√2. Очевидно, что только второе решение подходит для данной задачи. Таким образом, q = √2 и а = 108 - 864√2. Итак, мы нашли значения а и q: а = 108 - 864√2 и q = √2. Теперь можем найти сумму всех членов прогрессии. S = а * (1 - q^n)/(1 - q) = (108 - 864√2) * (1 - √2^(6k)) / (1 - √2). Заметим, что выражение 1 - √2^(6k) можно упростить. Пусть H = √2^(6k). Очевидно, что √2^6 = 2^3 = 8. Подставим q = √2 и n = 6k: 1 - √2^(6k) = 1 - √2^(6 * 1) = 1 - √2^6 = 1 - 8 = -7. Теперь подставим это значение в формулу и упростим дробь: S = (108 - 864√2) * (-7) / (1 - √2) = -756 + 6048√2 - 3024√2 + 24192 = 23436 + 3024√2. Ответ: сумма всех членов прогрессии равна 23436 + 3024√2.