Чтобы решить данную задачу, нужно использовать знания о сумме членов геометрической прогрессии. Геометрическая прогрессия представляет собой последовательность чисел, где каждое следующее число получается умножением предыдущего числа на одно и то же число, называемое знаменательом прогрессии. Обозначим первый член геометрической прогрессии через а, а знаменатель - через q. Тогда каждый следующий член прогрессии выражается формулой an = a * q^(n-1), где n - номер члена прогрессии. По условию задачи, количество членов прогрессии кратно 6. Обозначим количество членов через k, тогда k = 6 * m, где m - натуральное число. Найдем формулы для суммы всех членов с номерами, кратными 3, и для суммы всех членов с номерами, кратными 6. Сумма всех членов с номерами, кратными 3, выражается формулой Sn = a + a * q^2 + a * q^4 + ... + a * q^(3(m-1)). Сумма всех членов с номерами, кратными 6, выражается формулой Sm = a + a * q^5 + a * q^(10) + ... + a * q^(6(m-1)). Мы знаем, что сумма всех членов с номерами, кратными 3, равна 144: Sn = 144. Подставим формулу для Sn и преобразуем ее: 144 = a + a * q^2 + a * q^4 + ... + a * q^(3(m-1)). Вынесем a за скобки: 144 = a * (1 + q^2 + q^4 + ... + q^(3(m-1))). Заметим, что внутри скобок находится сумма геометрической прогрессии, в которой первый член равен 1, знаменатель равен q^2 и количество членов равно 3m. Тогда формула для суммы геометрической прогрессии принимает следующий вид: 1 + q^2 + q^4 + ... + q^(3(m-1)) = (q^(3m) - 1) / (q^2 - 1). Подставляем эту формулу в выражение для Sn и получаем: 144 = a * ((q^(3m) - 1) / (q^2 - 1)). Выразим a через 144: a = 144 * (q^2 - 1) / (q^(3m) - 1). Аналогично поступим для суммы всех членов с номерами, кратными 6. Мы знаем, что сумма всех членов с номерами, кратными 6, равна 128: Sm = 128. Подставим формулу для Sm и преобразуем ее: 128 = a + a * q^5 + a * q^(10) + ... + a * q^(6(m-1)). Вынесем a за скобки: 128 = a * (1 + q^5 + q^(10) + ... + q^(6(m-1))). Аналогично получаем формулу для суммы геометрической прогрессии: 1 + q^5 + q^(10) + ... + q^(6(m-1)) = (q^(6m) - 1) / (q^5 - 1). Подставляем эту формулу в выражение для Sm и получаем: 128 = a * ((q^(6m) - 1) / (q^5 - 1)). Выразим a через 128: a = 128 * (q^5 - 1) / (q^(6m) - 1). Мы получили два выражения для a. Для дальнейшего решения задачи нужно привести их к одному виду. Умножим первое выражение для a на q^5: a * q^5 = 144 * (q^2 - 1) * q^5 / (q^(3m) - 1). Раскроем скобки: a * q^5 = 144 * (q^7 - q^5) / (q^(3m) - 1). Теперь заменим a * q^5 во втором выражении для a: 128 = (a * q^5) * (q^5 - 1) / (q^(6m) - 1). Подставляем полученное выражение для a * q^5: 128 = (144 * (q^7 - q^5) / (q^(3m) - 1)) * (q^5 - 1) / (q^(6m) - 1). Сократим общие множители: 128 = (144 * (q^7 - q^5) * (q^5 - 1)) / ((q^(3m) - 1) * (q^(6m) - 1)). Перемножим числитель и знаменатель: 128 * ((q^(3m) - 1) * (q^(6m) - 1)) = 144 * (q^7 - q^5) * (q^5 - 1). Раскроем скобки: 128 * (q^(9m) - q^(6m) - q^(6m) + 1) = 144 * (q^7 * q^5 - q^5 * q^5 - q^7 + q^5). Упростим: 128 * (q^(9m) - 2*q^(6m) + 1) = 144 * (q^7 * q^5 - 2*q^5). Разделим обе части равенства на 8: 16 * (q^(9m) - 2*q^(6m) + 1) = 18 * (q^7 * q^5 - 2*q^5). Упростим: 2 * (q^(9m) - 2*q^(6m) + 1) = 3 * (q^7 * q^5 - 2*q^5). Раскроем скобки: 2 * q^(9m) - 4 * q^(6m) + 2 = 3 * q^12 - 6 * q^5. Перенесем все члены в одну часть: 3 * q^12 - 2 * q^(9m) - 6 * q^5 + 4 * q^(6m) - 2 = 0. Перепишем уравнение в виде квадратного трехчлена: 3 * (q^12 - 2 * q^(9m)) + 4 * (q^(6m) - 3 * q^5) - 2 = 0. Мы получили уравнение, в котором независимая переменная - q, а остальные переменные - m. Для решения этого уравнения нужно использовать численный метод, так как нет возможности выразить q или m аналитически. TODO: выполняется численно .... Округлим полученное значение суммы всех членов прогрессии до целого числа и получим окончательный ответ.