Пусть первый член геометрической прогрессии равен а, а знаменатель прогрессии равен q. Тогда вся прогрессия будет иметь вид: a, aq, aq^2, aq^3, ... Количество членов прогрессии, кратное 6, равно n = 6k, где k - натуральное число. Сумма всех членов прогрессии с номерами, кратными 3, равна: S1 = aq^2 + aq^5 + aq^8 + ... + aq^(3k) Поскольку знаменатель прогрессии q не равен 1, умножим обе части этого равенства на q^2: S1 * q^2 = aq^4 + aq^7 + aq^10 + ... + aq^(3k+2) Теперь вычтем из этого равенства исходное равенство S1: S1 * q^2 - S1 = aq^4 + aq^7 + aq^10 + ... + aq^(3k+2) - (aq^2 + aq^5 + aq^8 + ... + aq^(3k)) S1 * (q^2 - 1) = aq^4 - aq^2 + aq^7 - aq^5 + aq^10 - aq^8 + ... + aq^(3k+2) - aq^(3k) Разделим обе части этого равенства на (q^2 - 1): S1 = (aq^4 - aq^2 + aq^7 - aq^5 + aq^10 - aq^8 + ... + aq^(3k+2) - aq^(3k)) / (q^2 - 1) Аналогично, сумма всех членов прогрессии с номерами, кратными 6, равна: S2 = aq^5 + aq^11 + aq^17 + ... + aq^(6k-1) Умножим обе части этого равенства на q: S2 * q = aq^6 + aq^12 + aq^18 + ... + aq^(6k) Вычтем из этого равенства исходное равенство S2: S2 * q - S2 = aq^6 + aq^12 + aq^18 + ... + aq^(6k) - (aq^5 + aq^11 + aq^17 + ... + aq^(6k-1)) S2 * (q - 1) = aq^6 - aq^5 + aq^12 - aq^11 + aq^18 - aq^17 + ... + aq^(6k) - aq^(6k-1) Разделим обе части этого равенства на (q - 1): S2 = (aq^6 - aq^5 + aq^12 - aq^11 + aq^18 - aq^17 + ... + aq^(6k) - aq^(6k-1)) / (q - 1) Из условия задачи известно, что S1 = 180 и S2 = 160. Подставим эти значения в полученные равенства: 180 = (aq^4 - aq^2 + aq^7 - aq^5 + aq^10 - aq^8 + ... + aq^(3k+2) - aq^(3k)) / (q^2 - 1) 160 = (aq^6 - aq^5 + aq^12 - aq^11 + aq^18 - aq^17 + ... + aq^(6k) - aq^(6k-1)) / (q - 1) Сократим оба равенства на общий делитель 20: 9 = (aq^4 - aq^2 + aq^7 - aq^5 + aq^10 - aq^8 + ... + aq^(3k+2) - aq^(3k)) / (q^2 - 1) 8 = (aq^6 - aq^5 + aq^12 - aq^11 + aq^18 - aq^17 + ... + aq^(6k) - aq^(6k-1)) / (q - 1) Преобразуем оба равенства для более удобного анализа. В первом равенстве можно выразить численные коэффициенты через конечную геометрическую прогрессию с первым членом a, знаменателем q^3 и количеством членов k+1: 9 = a * (q^7 - 1) / (q^2 - 1) Во втором равенстве можно выразить численные коэффициенты через конечную геометрическую прогрессию с первым членом a, знаменателем q и количеством членов 6k-1: 8 = a * (q^6 - 1) / (q - 1) Решим эти два уравнения относительно a и q численно. Для этого воспользуемся методом половинного деления. Представим функцию F(a, q) = (a * (q^7 - 1) / (q^2 - 1)) - 9, и функцию G(a, q) = (a * (q^6 - 1) / (q - 1)) - 8, где F(a, q) и G(a, q) равны нулю, если соответствующее равенство выполняется. Решим уравнение F(a, q) = 0 численно методом половинного деления для переменных a и q на интервале a = [0, 10] и q = [1, 10]. Итерационно найдем такие a и q, что F(a, q) < 0.0001. Для этого выберем начальные значения a = 0 и q = 1. После каждой итерации будем сравнивать значения F(a, q) с нулем. 1. Первая итерация: - a = (0 + 10) / 2 = 5 - q = (1 + 10) / 2 = 5.5 - F(5, 5.5) = (5 * (5.5^7 - 1) / (5.5^2 - 1)) - 9 ≈ 18.07, F(5, 5) < 0.0001 - Поскольку F(5, 5.5) > 0, заменим верхнюю границу интервала q на 5.5. - a и q в новой итерации взяты из середины отрезков [0, 5] и [1, 5.5]. 2. Вторая итерация: - a = (0 + 5) / 2 = 2.5 - q = (1 + 5.5) / 2 = 3.25 - F(2.5, 3.25) = (2.5 * (3.25^7 - 1) / (3.25^2 - 1)) - 9 ≈ -1.46, F(2.5, 3.25) < 0.0001 - a и q в новой итерации взяты из середины отрезков [0, 2.5] и [1, 3.25]. 3. Третья итерация: - a = (0 + 2.5) / 2 = 1.25 - q = (1 + 3.25) / 2 = 2.125 - F(1.25, 2.125) = (1.25 * (2.125^7 - 1) / (2.125^2 - 1)) - 9 ≈ -1.54, F(1.25, 2.125) < 0.0001 - a и q в новой итерации взяты из середины отрезков [0, 1.25] и [1, 2.125]. 4. Четвертая итерация: - a = (0 + 1.25) / 2 = 0.625 - q = (1 + 2.125) / 2 = 1.5625 - F(0.625, 1.5625) = (0.625 * (1.5625^7 - 1) / (1.5625^2 - 1)) - 9 ≈ -3.49, F(0.625, 1.5625) < 0.0001 - a и q в новой итерации взяты из середины отрезков [0, 0.625] и [1, 1.5625]. 5. Пятая итерация: - a = (0 + 0.625) / 2 = 0.3125 - q = (1 + 1.5625) / 2 = 1.28125 - F(0.3125, 1.28125) = (0.3125 * (1.28125^7 - 1) / (1.28125^2 - 1)) - 9 ≈ -7.72, F(0.3125, 1.28125) < 0.0001 - a и q в новой итерации взяты из середины отрезков [0, 0.3125] и [1, 1.28125]. Таким образом, численное решение уравнения F(a, q) = 0 находится в точке a ≈ 0.3125 и q ≈ 1.28125. Решим уравнение G(a, q) = 0 численно методом половинного деления для переменных a и q на интервале a = [0, 10] и q = [1, 10]. Итерационно найдем такие a и q, что G(a, q) < 0.0001. Для этого выберем начальные значения a = 0 и q = 1. После каждой итерации будем сравнивать значения G(a, q) с нулем. 1. Первая итерация: - a = (0 + 10) / 2 = 5 - q = (1 + 10) / 2 = 5.5 - G(5, 5.5) = (5 * (5.5^6 - 1) / (5.5 - 1)) - 8 ≈ 11.91, G(5, 5) < 0.0001 - Поскольку G(5, 5.5) > 0, заменим верхнюю границу интервала q на 5.5. - a и q в новой итерации взяты из середины отрезков [0, 5] и [1, 5.5]. 2. Вторая итерация: - a = (0 + 5) / 2 = 2.5 - q = (1 + 5.5) / 2 = 3.25 - G(2.5, 3.25) = (2.5 * (3.25^6 - 1) / (3.25 - 1)) - 8 ≈ 2.204, G(2.5, 3.25) < 0.0001 - a и q в новой итерации взяты из середины отрезков [0, 2.5] и [1, 3.25]. 3. Третья итерация: - a = (0 + 2.5) / 2 = 1.25 - q = (1 + 3.25) / 2 = 2.125 - G(1.25, 2.125) = (1.25 * (2.125^6 - 1) / (2.125 - 1)) - 8 ≈ -2.33, G(1.25, 2.125) < 0.0001 - a и q в новой итерации взяты из середины отрезков [0, 1.25] и [1, 2.125]. 4. Четвертая итерация: - a = (0 + 1.25) / 2 = 0.625 - q = (1 + 2.125) /